Question

1. Cho tam giác ABC đều. Có đường cao bằng 3cm. Gọi M là điểm bất kì nằm trong tam giá. Gọi x, y, z là khoảng cách từ M đến AB, BC, AC.

Tìm min \(x^2+y^2+z^2\)

2. Cho điểm O nằm trong tam giác ABC. Tia AO  cắt BC tại A' ; BO cắt AC tại B' ; CO cắt AB tại C'. CMR: \(\dfrac{OA'}{AA'}+\dfrac{OB'}{BB'}+\dfrac{OC'}{CC'}=1\)

Answer 1

1.

Gọi cạnh tam giác ABC là a

\(S_{ABC}=S_{AMB}+S_{BMC}+S_{AMC}\\ \Leftrightarrow\dfrac{1}{2}ah=\dfrac{1}{2}ax+\dfrac{1}{2}ay+\dfrac{1}{2}az\\ \Leftrightarrow x+y+z=h\)

Lại có \(3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2=h^2\left(bunhia\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge\dfrac{1}{3}h^2\)

Dấu \("="\Leftrightarrow x=y=z\Leftrightarrow M\) là giao 3 đường p/g của \(\Delta ABC\)