Mệnh đề trong đề bài đang bị sai, nên không thể chứng minh được.
Ta lấy ví dụ:
x = y = z = 1/√3
Khi đó:
x² + 2y² + 3z² + 2xy + 2yz + 2zx
= 1/3 + 2/3 + 3/3 + 2/3 + 2/3 + 2/3
= 12/3
= 4
Vậy x, y, z thỏa mãn điều kiện đề bài.
Xét vế trái:
1/√(x⁴ + 3y² + 5) + 1/√(8y⁴ + 3z² + 5) + 1/√(27z⁴ + 3x² + 5)
Thay x = y = z = 1/√3, ta có:
x² = y² = z² = 1/3
x⁴ = y⁴ = z⁴ = 1/9
Suy ra:
1/√(x⁴ + 3y² + 5)
= 1/√(1/9 + 1 + 5)
= 1/√(55/9)
= 3/√55
1/√(8y⁴ + 3z² + 5)
= 1/√(8/9 + 1 + 5)
= 1/√(62/9)
= 3/√62
1/√(27z⁴ + 3x² + 5)
= 1/√(27/9 + 1 + 5)
= 1/√9
= 1/3
Do đó vế trái bằng:
3/√55 + 3/√62 + 1/3
≈ 0,4045 + 0,3810 + 0,3333
≈ 1,1188
Mà:
1,1188 > 1/2
Vậy bất đẳng thức đã cho là sai.
