a)
Vì AB, AC là các tiếp tuyến của (O) nên
OB ⟂ AB và OC ⟂ AC.
Suy ra
∠ABO = ∠ACO = 90°,
nên hai góc đối của tứ giác ABOC bù nhau.
Vậy A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn.
Mặt khác, từ tính chất hai tiếp tuyến kẻ từ một điểm:
AB = AC.
Lại có OB = OC = R và AO chung.
Do đó tam giác ABO và tam giác ACO bằng nhau.
Suy ra B và C đối xứng nhau qua AO, nên AO là đường trung trực của BC.
Vì thế OA ⟂ BC.
Xét đường tròn (O), do CD là đường kính nên
∠CBD = 90°.
Suy ra BD ⟂ BC.
Mà OA ⟂ BC nên BD song song OA.
b)
Từ câu a), ta có OA ⟂ BC.
Do H thuộc BC nên BH ⟂ AO.
Xét tam giác vuông AOB (vuông tại B), BH là đường cao hạ xuống cạnh huyền AO.
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông:
AH . AO = AB²
và
OH . AO = OB² = R². (1)
Mặt khác, từ định lý tiếp tuyến – cát tuyến, với tiếp tuyến AB và cát tuyến ADE:
AB² = AD . AE. (2)
Từ (1) và (2), suy ra
AH . AO = AD . AE.
Vì A, H, O thẳng hàng và A, D, E thẳng hàng, lại có
AH . AO = AD . AE,
nên theo định lý đảo về lực của điểm, bốn điểm H, O, D, E cùng thuộc một đường tròn.
Khi đó, trong đường tròn (HODE):
∠OHE = ∠ODE (cùng chắn cung OE).
Mà A, H, O thẳng hàng nên
∠AHE = 180° - ∠OHE.
Và A, D, E thẳng hàng nên
∠ADO = 180° - ∠ODE.
Do ∠OHE = ∠ODE, suy ra
∠AHE = ∠ADO.
Vậy:
AH . AO = AE . AD
và
∠AHE = ∠ADO.
c)
Cho OA = 3R.
Từ hệ thức
OH . AO = R²,
ta được
OH = R² / OA = R² / (3R) = R/3.
Vì AO ⟂ BC và O là tâm nên H là trung điểm của BC.
Xét tam giác vuông OBH:
BH = √(OB² - OH²)
= √(R² - (R/3)²)
= √(8R²/9)
= 2√2 R / 3.
Suy ra
BC = 2BH = 4√2 R / 3.
Diện tích tứ giác ABOC bằng tổng diện tích hai tam giác ABC và OBC:
SABOC = 1/2 . BC . AH + 1/2 . BC . OH
= 1/2 . BC . (AH + OH)
= 1/2 . BC . AO
= 1/2 . (4√2 R / 3) . 3R
= 2√2 R².
Kết luận:
BC = 4√2 R / 3
và
SABOC = 2√2 R².
a: Xét tứ giác ABOC có \(\hat{OBA}+\hat{OCA}=90^0+90^0=180^0\)
nên ABOC là tứ giác nội tiếp
=>A,B,O,C cùng thuộc một đường tròn
Xét (O) có
AB,AC là các tiếp tuyến
Do đó; AB=AC và OA là phân giác của góc BOC và AO là phân giác của góc BAC
ΔOBC cân tại O
mà OA là đường phân giác
nên OA⊥BC
Xét (O) có
ΔBCD nội tiếp
CD là đường kính
Do đó: ΔBCD vuông tại B
=>BC⊥BD
mà OA⊥BC
nên OA//BD
b: Xét (O) có
ΔCED nội tiếp
CD là đường kính
Do đó: ΔCED vuông tại E
=>CE⊥AD tại E
Xét ΔDCA vuông tại C có CE là đường cao
nên \(AE\cdot AD=AC^2\) (1)
Xét ΔACO vuông tại C có CH là đường cao
nên \(AH\cdot AO=AC^2\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra \(AE\cdot AD=AH\cdot AO\)
=>\(\frac{AH}{AD}=\frac{AE}{AO}\)
Xét ΔAHE và ΔADO có
\(\frac{AH}{AD}=\frac{AE}{AO}\)
góc HAE chung
Do đó: ΔAHE~ΔADO
=>\(\hat{AHE}=\hat{ADO}\)
c: ΔOBA vuông tại B
=>\(BO^2+BA^2=OA^2\)
=>\(BA^2=\left(3R\right)^2-R^2=8R^2\)
=>\(BA=2R\sqrt2\)
Xét ΔBOA vuông tại B có BH là đường cao
nên \(BH\cdot OA=BO\cdot BA\)
=>\(BH=\frac{R\cdot2R\sqrt2}{3R}=R\cdot\frac{2\sqrt2}{3}\)
H là trung điểm của BC
=>\(BC=2\cdot R=R\cdot\frac{4\sqrt2}{3}\)
