a: Xét (O) có
ΔAMB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔAMB vuông tại M
=>AM⊥KB tại M
Xét tứ giác KHAM có \(\hat{KHA}+\hat{KMA}=90^0+90^0=180^0\)
nên KHAM là tứ giác nội tiếp
b: Xét (O) có
MN là dây
AB là đường kính
AB⊥MN
Do đó: B là điểm chính giữa của cung MN
=>sđ cung BM=sđ cung BN
=>BM=BN
=>ΔBMN cân tại B
mà BA là đường cao
nên BA là phân giác của góc MBN
Xét (O) có
ΔANB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔANB vuông tại N
Xét ΔBNA vuông tại N và ΔBHK vuông tại H có
\(\hat{NBA}=\hat{HBK}\)
Do đó: ΔBNA~ΔBHK
=>\(\frac{NB}{HB}=\frac{NA}{HK}\)
=>\(NA\cdot HB=NB\cdot HK\)
c: KHAM là tứ giác nội tiếp
=>\(\hat{HMA}=\hat{HKA}=90^0-\hat{KAH}=90^0-\hat{NAB}=\hat{NBA}\)
=\(\hat{MBA}\)
ΔOMA cân tại O
=>\(\hat{OMA}=\hat{OAM}=\hat{MAB}\)
\(\hat{OMH}=\hat{OMA}+\hat{HMA}\)
\(=\hat{MAB}+\hat{MBA}=90^0\)
=>MH⊥MO tại M
=>MH là tiếp tuyến tại M của (O)
Câu 1a
MN ⟂ AB tại M nên AM ⟂ MN
K ∈ BM nên KM ⟂ AM
H là chân đường vuông góc từ K xuống AB nên KH ⟂ AB
AH ⟂ KH
∠AKH = 90° , ∠AMH = 90°
⇒ ∠AKH = ∠AMH
⇒ A, H, K, M cùng thuộc một đường tròn
Câu 1b
Từ câu a suy ra A, H, K, M nội tiếp
Xét tam giác ABN và tam giác HKB
∠ANB = 90° , ∠KHB = 90°
∠ABN = ∠HBK
⇒ ΔABN ∼ ΔHKB
AN/ HK = AB/ HB
NB/ AN = HB/ HK
⇒ NB . HK = AN . HB
Câu 1c
Từ câu a suy ra ∠HMK = ∠HAK
K ∈ NA nên ∠HAK = ∠HAM
Mà ∠HAM là góc nội tiếp chắn cung HM của (O)
⇒ góc giữa HM và MA bằng góc nội tiếp chắn cung MA
⇒ HM ⟂ OM
⇒ HM là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại M
