Question

Answer 1

1:

a: Xét ΔACE vuông tại C có CB là đường cao

nên \(AB\cdot AE=AC^2\)

=>\(AE=\frac{6^2}{4}=9\left(\operatorname{cm}\right)\)

ΔABC vuông tại B

=>\(BA^2+BC^2=AC^2\)

=>\(BC^2=6^2-4^2=36-16=20\)

=>\(BC=2\sqrt5\) (cm)

Diện tích hình chữ nhật ABCD là:

\(S_{ABCD}=AB\cdot BC=4\cdot2\sqrt5=8\sqrt5\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

b: Xét ΔACE vuông tại C có sin AEC=\(\frac{AC}{AE}=\frac69=\frac23\)

=>\(\sin AEF=\frac23\)

Ta có: \(\sin^2AEF+cos^2AEF=1\)

=>\(cos^2AEF=1-\left(\frac23\right)^2=\frac59\)

=>\(cosAEF=\frac{\sqrt5}{3}\)

tan AEF\(=\frac{\sin AEF}{cosAEF}=\frac23:\frac{\sqrt5}{3}=\frac{2}{\sqrt5}\)

\(\cot AEF=\frac{1}{\tan AEF}=1:\frac{2}{\sqrt5}=\frac{\sqrt5}{2}\)

2: Xét ΔACF vuông tại C có CD là đường cao

nên \(AD\cdot AF=AC^2\)

=>\(AD\cdot AF=AB\cdot AE\)

=>\(\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AF}\)

Xét ΔADB vuông tại A và ΔAEF vuông tại A có

\(\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AF}\)

Do đó: ΔADB~ΔAEF

=>\(\frac{DB}{EF}=\frac{AD}{AE}\)

=>\(\frac{EF}{DB}=\frac{AE}{AD}\)

=>\(\frac{EF}{AC}=\frac{AE}{AD}\)

=>\(\left(\frac{EF}{AC}\right)^2=\left(\frac{AE}{AD}\right)^2=\left(\frac{AC^2}{AB}:AD\right)^2=\left(\frac{AC^2}{AB\cdot AD}\right)^2\)

\(\frac{AF}{AD}+\frac{AE}{AB}=\frac{\frac{AC^2}{AD}}{AD}+\frac{\frac{AC^2}{AB}}{AB}=\frac{AC^2}{AD^2}+\frac{AC^2}{AB^2}=AC^2\left(\frac{1}{AD^2}+\frac{1}{AB^2}\right)\)

\(=AC^2\cdot\frac{AB^2+AD^2}{\left(AB\cdot AD\right)^2}=AC^2\cdot\frac{AC^2}{\left(AB\cdot AD\right)^2}=\left(\frac{AC^2}{AB\cdot AD}\right)^2\)

Do đó: \(\frac{AF}{AD}+\frac{AE}{AB}=\left(\frac{EF}{AC}\right)^2\)