a: ΔACB vuông tại A
=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)
=>\(BC^2=9^2+12^2=81+144=225=15^2\)
=>BC=15(cm)
Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao
nên \(BH\cdot BC=BA^2;AH\cdot BC=AB\cdot AC\)
=>\(BH=\frac{9^2}{15}=\frac{81}{15}=5,4\left(\operatorname{cm}\right);AH=\frac{9\cdot12}{15}=\frac{108}{15}=7,2\left(\operatorname{cm}\right)\)
ta có: BH+CH=BC
=>CH=15-5,4=9,6(cm)
b: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao
nên \(HB\cdot HC=AH^2\left(1\right)\)
Xét ΔAHB vuông tại H có HE là đường cao
nên \(AE\cdot AB=AH^2\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra \(HB\cdot HC=AE\cdot AB\)
c: Xét ΔABC có AD là phân giác
nên \(\frac{DB}{AB}=\frac{DC}{AC}\)
=>\(\frac{DB}{9}=\frac{DC}{12}\)
=>\(\frac{DB}{3}=\frac{DC}{4}\)
mà DB+DC=BC=15cm
nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:
\(\frac{DB}{3}=\frac{DC}{4}=\frac{DB+DC}{3+4}=\frac{15}{7}\)
=>\(\begin{cases}DB=\frac{15}{7}\cdot3=\frac{45}{7}\left(\operatorname{cm}\right)\\ DC=\frac{15}{7}\cdot4=\frac{60}{7}\left(\operatorname{cm}\right)\end{cases}\)
d:
Xét tứ giác AEHF có \(\hat{AEH}=\hat{AFH}=\hat{FAE}=90^0\)
nên AEHF là hình chữ nhật
=>AE=HF; AF=HE; AH=EF
Xét ΔHEB vuông tại E có \(\tan EHB=\frac{EB}{EH}\)
mà \(\hat{EHB}=\hat{C}\) (hai góc đồng vị, EH//AC)
nên \(\tan C=\frac{EB}{EH}\)
mà EH=AF
nên \(\tan C=\frac{EB}{AF}\)
Xét ΔHFC vuông tại F có \(\tan C=\frac{HF}{FC}\)
Xét ΔHAF vuông tại F có \(\tan FHA=\frac{FA}{FH}\)
mà \(\hat{FHA}=\hat{C}\left(=90^0-\hat{FHC}\right)\)
nên \(\tan C=\frac{FA}{FH}\)
\(\tan^3C=\tan C\cdot\tan C\cdot\tan C\)
\(=\frac{EB}{AF}\cdot\frac{FA}{FH}\cdot\frac{HF}{FC}=\frac{EB}{FC}\)
