a; Xét (O) có
ΔACK nội tiếp
AK là đường kính
Do đó: ΔACK vuông tại C
Xét (O) có
\(\hat{ABC};\hat{AKC}\) là các góc nội tiếp chắn cung AC
Do đó: \(\hat{ABC}=\hat{AKC}\)
Xét ΔADB vuông tại D và ΔACK vuông tại C có
\(\hat{ABD}=\hat{AKC}\)
Do đó: ΔADB~ΔACK
=>\(\frac{AD}{AC}=\frac{AB}{AK}\)
=>\(AB\cdot AC=AD\cdot AK\)
b: \(\frac{AB\cdot AC\cdot BC}{4R}=\frac{AD\cdot AK\cdot BC}{4R}=\frac{2R\cdot AD\cdot BC}{4R}=\frac{AD\cdot BC}{2}\)
\(S_{ABC}=\frac12\cdot AD\cdot BC\)
Do đó: \(S_{ABC}=\frac{AB\cdot AC\cdot BC}{4R}\)
c: Xét (O) có
ΔABK nội tiếp
AK là đường kính
Do đó: ΔABK vuông tại B
=>BK⊥BA
mà CH⊥BA
nên CH//BK
Ta có: CA⊥CK
BH⊥AC
Do đó: BH//CK
Xét tứ giác BHCK có
BH//CK
BK//CH
Do đó: BHCK là hình bình hành
=>BC cắt HK tại trung điểm của mỗi đường
mà I là trung điểm của BC
nên I là trung điểm của HK
=>H,I,K thẳng hàng
d: Xét (O) có
ΔAMK nội tiếp
AK là đường kính
Do đó: ΔAMK vuông tại M
=>MK⊥MA
mà MA⊥BC
nên MK//BC
=>DI//MK
Xét ΔHMK có
I là trung điểm của HK
ID//MK
Do đó: D là trung điểm của HM
mà BC⊥HM tại D
nên BC là đường trung trực của HM
=>H đối xứng với M qua BC
