Bài 2: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số.
1)
\[
\begin{cases}
2x + 2y = 3 \\
3x - 2y = 2
\end{cases}
\]
2)
\[
\begin{cases}
4x - 3y - 15 = 0 \\
4x + y = 19
\end{cases}
\]
3)
\[
\begin{cases}
2x + 2y = 3 \\
3x - 2y = 2
\end{cases}
\]
4)
\[
\begin{cases}
3x - 4y = 17 \\
5x - 2y = 19
\end{cases}
\]
5)
\[
\begin{cases}
4x - 3y = 21 \\
5x - 2y = 19
\end{cases}
\]
Bài 4: Giải các hệ phương trình sau (phương pháp đặt ẩn phụ)
1)
\[
\begin{cases}
\frac{2}{x-2} + \frac{1}{y+1} = 3 \\
\frac{4}{x-2} - \frac{3}{y+1} = 1
\end{cases}
\]
2)
\[
\begin{cases}
\frac{1}{x-2} + \frac{1}{y-1} = 2 \\
\frac{2}{x-2} - \frac{3}{y-1} = 1
\end{cases}
\]
3)
\[
\begin{cases}
\frac{1}{x-1} - \frac{2}{y+3} = 7 \\
\frac{3}{x-1} + \frac{4}{y+3} = 1
\end{cases}
\]
bài 2:
\(1)\begin{cases}2x+2y=3\left(1\right)\\ 3x-2y=2\left(2\right)\end{cases}\)
cộng (1) và (2) vế theo vế ta được:
\(5x=5\Rightarrow x=1\)
thay x = 1 vào (1) ta được:
\(2\cdot1+2y=3\)
\(2+2y=3\)
\(2y=1\Rightarrow y=\frac12\)
KL: \(\left(x;y\right)=\left(1;\frac12\right)\)
\(2)\begin{cases}4x-3y-15=0\\ 4x+y=19\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}4x-3y=15\left(1\right)\\ 4x+y=19\left(2\right)\end{cases}\)
trừ (1) và (2) vế theo vế ta được:
\(-4y=-4\Rightarrow y=1\)
thay y=1 vào (1) ta được:
\(4x-3=15\)
4x = 18
\(x=\frac{18}{4}\)
kết luận: \(\left(x;y\right)=\left(\frac{18}{4};1\right)\)
\(3)\begin{cases}2x+2y=3\left(1\right)\\ 3x-2y=2\left(2\right)\end{cases}\)
cộng (1) và (2) vế theo vế ta được:
\(5x=5\Rightarrow x=1\)
thay x = 1 vào (1) ta được:
\(2\cdot1+2y=3\)
\(2+2y=3\)
\(2y=1\Rightarrow y=\frac12\)
KL: \(\left(x;y\right)=\left(1;\frac12\right)\)
bài 4:
\(1)\begin{cases}\frac{2}{x-2}+\frac{1}{y+1}=3\\ \frac{4}{x-2}-\frac{3}{y+1}=1\end{cases}\) (đkxđ: x khác 2; y khác -1)
đặt a = \(\frac{1}{x-2}\) ; b = \(\frac{1}{y+1}\) ta có hệ:
\(\begin{cases}2a+b=3\\ 4a-3b=1\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}4a+2b=6\left(1\right)\\ 4a-3b=1\left(2\right)\end{cases}\)
trừ (1) và (2) vế theo vế ta được:
\(5b=5\Rightarrow b=1\)
thay b=1 vào (1) ta được:
\(4a+2=6\)
\(4a=4\Rightarrow a=1\)
ta có: \(1=\frac{1}{x-2}\Rightarrow x=3\) (TM)
\(1=\frac{1}{y+1}\Rightarrow y=0\) (TM)
kết luận: (x;y)=(3;0)
\(2)\begin{cases}\frac{1}{x-2}+\frac{1}{y-1}=2\\ \frac{2}{x-2}-\frac{3}{y-1}=1\end{cases}\) (đkxđ: x khác 2; y khác 1)
đặt \(a=\frac{1}{x-2};b=\frac{1}{y-1}\)ta có hệ:
\(\begin{cases}a+b=2\\ 2a-3b=1\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}2a+2b=4\left(1\right)\\ 2a-3b=1\left(2\right)\end{cases}\)
lấy (1)-(2) vế theo vế ta được:
\(5b=3\Rightarrow b=\frac35\) (*)
thay (*) vào (1) ta được:
\(2a+2\cdot\frac35=4\)
\(2a+\frac65=4\)
\(2a=4-\frac65\)
\(2a=\frac{14}{5}\Rightarrow a=\frac75\)
ta có: \(\frac75=\frac{1}{x-2}\Rightarrow7x-14=5\Rightarrow x=\frac{19}{7}\) (TM)
\(\frac35=\frac{1}{y-1}\Rightarrow3y-3=5\Rightarrow y=\frac83\) (TM)
kết luận (x;y)=\(\left(\frac{19}{7};\frac83\right)\)
\(3)\begin{cases}\frac{1}{x-1}-\frac{2}{y+3}=7\\ \frac{3}{x-1}+\frac{4}{y+3}=1\end{cases}\) (đkxđ: x khác 1; y khác -3)
đặt \(a=\frac{1}{x-1};b=\frac{1}{y+3}\) ta có hệ:
\(\begin{cases}a-2b=7\\ 3a+4b=1\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}2a-4b=14\left(1\right)\\ 3a+4b=1\left(2\right)\end{cases}\)
lấy (1)+(2) vế theo vế ta được:
\(5a=15\Rightarrow a=3\) (*)
thay (*) vào (1) ta được:
\(6-4b=14\Rightarrow b=-2\)
ta có: \(3=\frac{1}{x-1}\Rightarrow3x-3=1\Rightarrow x=\frac43\) (TM)
\(-2=\frac{1}{y+3}\Rightarrow-2y-6=1\Rightarrow y=-3,5\) (TM)
kết luận: (x;y)=\(\left(\frac43;-3,5\right)\)
Bài 4:
1: ĐKXĐ: x<>2; y<>-1
Đặt \(\frac{1}{x-2}=a;\frac{1}{y+1}=b\) (ĐK: a<>0; b<>0)
Hệ phương trình sẽ trở thành:
\(\begin{cases}2a+b=3\\ 4a-3b=1\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}4a+2b=6\\ 4a-3b=1\end{cases}\)
=>\(\begin{cases}4a+2b-4a+3b=6-1=5\\ 2a+b=3\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}5b=5\\ 2a=3-b\end{cases}\)
=>\(\begin{cases}b=1\\ 2a=3-1=2\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}b=1\\ a=1\end{cases}\) (nhận)
=>\(\begin{cases}\frac{1}{x-2}=1\\ \frac{1}{y+1}=1\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x-2=1\\ y+1=1\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=3\\ y=0\end{cases}\) (nhận)
2: ĐKXĐ: x<>2; y<>1
Đặt \(\frac{1}{x-2}=a;\frac{1}{y-1}=b\) (ĐIều kiện: a<>0; b<>0)
Hệ phương trình sẽ trở thành:
\(\begin{cases}a+b=2\\ 2a-3b=1\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}3a+3b=6\\ 2a-3b=1\end{cases}\)
=>\(\begin{cases}3a+3b+2a-3b=6+1=7\\ a+b=2\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}5a=7\\ b=2-a\end{cases}\)
=>\(\begin{cases}a=\frac75\\ b=2-\frac75=\frac35\end{cases}\) (nhận)
=>\(\begin{cases}\frac{1}{x-2}=\frac75\\ \frac{1}{y-1}=\frac35\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x-2=\frac57\\ y-1=\frac53\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=\frac57+2=\frac{19}{7}\\ y=\frac53+1=\frac83\end{cases}\) (nhận)
3: ĐKXĐ: x<>1; y<>-3
Đặt \(\frac{1}{x-1}=a;\frac{1}{y+3}=b\) (Điều kiện: a<>0; b<>0)
Hệ phương trình sẽ trở thành:
\(\begin{cases}a-2b=7\\ 3a+4b=1\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}3a-6b=21\\ 3a+4b=1\end{cases}\)
=>\(\begin{cases}3a-6b-3a-4b=21-1=20\\ a-2b=7\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}-10b=20\\ a=2b+7\end{cases}\)
=>\(\begin{cases}b=-2\\ a=2\cdot\left(-2\right)+7=-4+7=3\end{cases}\)
=>\(\begin{cases}\frac{1}{x-1}=3\\ \frac{1}{y+3}=-2\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x-1=\frac13\\ y+3=-\frac12\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=1+\frac13=\frac43\\ y=-\frac12-3=-\frac72\end{cases}\) (nhận)
Bài 2:
1: \(\begin{cases}2x+2y=3\\ 3x-2y=2\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}2x+2y+3x-2y=3+2=5\\ 2x+2y=3\end{cases}\)
=>\(\begin{cases}5x=5\\ x+y=\frac32\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=1\\ y=\frac32-1=\frac12\end{cases}\)
2: \(\begin{cases}4x-3y-15=0\\ 4x+y=19\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}4x-3y=15\\ 4x+y=19\end{cases}\)
=>\(\begin{cases}4x-3y-4x-y=15-19=-4\\ 4x+y=19\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}-4y=-4\\ 4x=19-y\end{cases}\)
=>\(\begin{cases}y=1\\ 4x=19-1=18\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y=1\\ x=\frac{18}{4}=\frac92\end{cases}\)
3: \(\begin{cases}2x+2y=3\\ 3x-2y=2\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}2x+2y+3x-2y=3+2=5\\ 2x+2y=3\end{cases}\)
=>\(\begin{cases}5x=5\\ 2x+2y=3\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=1\\ x+y=\frac32\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=1\\ y=\frac32-1=\frac12\end{cases}\)
