Question

Answer 1

a: Xét ΔADB vuông tại D có \(\sin ABD=\frac{AD}{AB}\)

=>\(\frac{AD}{4}=\sin60=\frac{\sqrt3}{2}\)

=>\(AD=4\cdot\frac{\sqrt3}{2}=2\sqrt3\left(\operatorname{cm}\right)\)

Xét ΔDCA vuông tại D có \(\sin DCA=\frac{DA}{AC}\)

=>\(\frac{2\sqrt3}{AC}=\sin45=\frac{\sqrt2}{2}\)

=>\(AC=2\sqrt3\cdot\frac{2}{\sqrt2}=2\sqrt3\cdot\sqrt2=2\sqrt6\) (cm)

Xét ΔABC có \(\hat{BAC}+\hat{ABC}+\hat{ACB}=180^0\)

=>\(\hat{BAC}=180^0-60^0-45^0=75^0\)

Xét ΔABC có \(\frac{BC}{\sin BAC}=\frac{AB}{\sin BCA}\)

=>\(\frac{BC}{\sin75}=\frac{4}{\sin45}=4:\frac{\sqrt2}{2}=4\cdot\frac{2}{\sqrt2}=4\sqrt2\)

=>\(BC=4\sqrt2\cdot\sin75=2+2\sqrt3\) (cm)

Diện tích tam giác ABC là:

\(S_{ABC}=\frac12\cdot AD\cdot BC=\frac12\cdot2\sqrt3\left(2\sqrt3+2_{}\right)=\sqrt3\left(2\sqrt3+2\right)=6+2\sqrt3\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

b: Xét ΔBEC vuông tại E và ΔBDA vuông tại D có

\(\hat{EBC}\) chung

Do đó: ΔBEC~ΔBDA

=>\(\frac{BE}{BD}=\frac{BC}{BA}\)

=>\(\frac{BE}{BC}=\frac{BD}{BA}\)

Xét ΔBEC vuông tại E có \(cosEBC=\frac{BE}{BC}\)

=>\(\frac{BE}{BC}=cos60=\frac12\)

Xét ΔBED và ΔBCA có

\(\frac{BE}{BC}=\frac{BD}{BA}\)

góc EBD chung

Do đó: ΔBED~ΔBCA

=>\(\frac{S_{BED}}{S_{BCA}}=\left(\frac{BE}{BC}\right)^2=\frac14\)

=>\(S_{BED}=\frac{6+2\sqrt3}{4}=\frac{3+\sqrt3}{2}\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

c: ΔBED~ΔBCA

=>\(\frac{ED}{CA}=\frac{BE}{BC}=\frac12\)

=>\(\frac{ED}{2\sqrt6}=\frac12\)

=>\(ED=\sqrt6\left(\operatorname{cm}\right)\)

\(S_{BAC}=\frac12\cdot CE\cdot AB\)

=>\(\frac12\cdot CE\cdot4=6+2\sqrt3\)

=>\(2\cdot CE=6+2\sqrt3\)

=>\(CE=3+\sqrt3\left(\operatorname{cm}\right)\)

ΔAEC vuông tại E

=>\(EA^2+EC^2=CA^2\)

=>\(EA^2=\left(2\sqrt6\right)^2-\left(3+\sqrt3\right)^2=24-12-6\sqrt3=12-6\sqrt3=\left(3-\sqrt3\right)^2\)

Xét ΔAEC vuông tại E có EK là đường cao

nên \(AK\cdot AC=AE^2\)

=>\(AK\cdot2\sqrt6=\left(3-\sqrt3\right)^2=12-6\sqrt3\)

=>\(AK=\frac{12-6\sqrt3}{2\sqrt6}=\frac{6-3\sqrt3}{\sqrt6}=\sqrt6-\frac{3}{\sqrt2}=\sqrt6-\frac{3\sqrt2}{2}\) (cm)

Xét ΔDCA vuông tại D có DH là đường cao

nên \(AH\cdot AC=AD^2\)

=>\(AH=\frac{\left(2\sqrt3\right)^2}{2\sqrt6}=\frac{12}{2\sqrt6}=\sqrt6\left(\operatorname{cm}\right)\)