a: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao
nên \(AH^2=HB\cdot HC\)
=>\(HC\cdot9=12^2=144\)
=>\(HC=\frac{144}{9}=16\left(\operatorname{cm}\right)\)
ΔAHB vuông tại H
=>\(HA^2+HB^2=AB^2\)
=>\(AB^2=12^2+9^2=144+81=225=15^2\)
=>AB=15(cm)
ΔAHC vuông tại H
=>\(HA^2+HC^2=AC^2\)
=>\(AC^2=12^2+16^2=144+256=400=20^2\)
=>AC=20(cm)
b:ΔABC vuông tại A
mà AM là đường trung tuyến
nên \(AM=BM=CM=\frac{BC}{2}\)
=>BC=2AM
Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao
nên \(BH\cdot BC=AB^2\) (2)
=>\(BH\cdot2\cdot AM=BA^2\)
c: Xét ΔABF vuông tại A có AE là đường cao
nên \(BE\cdot BF=BA^2\) (1)
Xét ΔMAC có MA=MC
nên ΔMAC cân tại M
=>\(\hat{MAC}=\hat{MCA}\)
mà \(\hat{MCA}=\hat{HAB}\left(=90^0-\hat{HBA}\right)\)
nên \(\hat{MAC}=\hat{HAB}\)
Xét ΔEAF vuông tại E và ΔHAB vuông tại H có
\(\hat{EAF}=\hat{HAB}\)
Do đó: ΔEAF~ΔHAB
=>\(\frac{AF}{AB}=\frac{AE}{HA}\)
Xét ΔEAB vuông tại E và ΔHBA vuông tại H có
BA chung
\(\hat{EAB}=\hat{HBA}\) (ΔMAB cân tại M)
Do đó: ΔEAB=ΔHBA
=>EA=HB
=>\(\frac{AF}{AB}=\frac{EA}{HA}=\frac{HB}{HA}\)
Xét ΔBHA vuông tại H và ΔAHC vuông tại H có
\(\hat{HBA}=\hat{HAC}\left(=90^0-\hat{HCA}\right)\)
Do đó: ΔHBA~ΔHAC
=>\(\frac{HB}{HA}=\frac{AB}{AC}\)
=>\(\frac{AF}{AB}=\frac{AB}{AC}\)
=>\(AF\cdot AC=AB^2\) (3)
Từ (1),(2),(3) suy ra \(AF\cdot AC=BE\cdot BF=BH\cdot BC\)
d: Ta có: \(AF\cdot AC=AB^2\)
=>\(\frac{AF}{AB}=\frac{AB}{AC}\)
Xét ΔAFB vuông tại A và ΔABC vuông tại A có
\(\frac{AF}{AB}=\frac{AB}{AC}\)
Do đó: ΔAFB~ΔABC
=>\(\frac{S_{ABF}}{S_{ACB}}=\left(\frac{AB}{AC}\right)^2=\tan^2C\)
