a: Xét tứ giác AEHF có \(\hat{AEH}=\hat{AFH}=\hat{FAE}=90^0\)
nên AEHF là hình chữ nhật
b: Xét ΔAHB vuông tại H có HE là đường cao
nên \(AE\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)
Xét ΔAHC vuông tại H có HF là đường cao
nên \(AF\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra \(AE\cdot AB=AF\cdot AC\)
c: AEHF là hình chữ nhật
=>AE=HF và AF=HE
Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao
nên \(AH^2=HB\cdot HC\)
\(HF\cdot AB+HE\cdot AC\)
\(=AE\cdot AB+AF\cdot AC\)
\(=AH^2+AH^2=2AH^2=2\cdot HB\cdot HC\)
d: AEHF là hình chữ nhật
=>\(S_{AEHF}=AE\cdot AF\)
Ta có: \(AE\cdot AB=AH^2\)
=>\(AE=\frac{AH^2}{AB}\)
Ta có: \(AF\cdot AC=AH^2\)
=>\(AF=\frac{AH^2}{AC}\)
Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao
nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)
\(BC\cdot S_{AEHF}=BC\cdot AE\cdot AF\)
\(=BC\cdot\frac{AH^2}{AB}\cdot\frac{AH^2}{AC}=\frac{AH^4}{AB\cdot AC}\cdot BC\)
\(=\frac{AH^4}{AH\cdot BC}\cdot BC=AH^3\)
e: ΔABC vuông tại A
mà AM là đường trung tuyến
nên MA=MC=MB
Xét ΔMAC có MA=MC
nên ΔMAC cân tại M
Xét ΔMAC có \(\hat{AMB}\) là góc ngoài tại đỉnh M
nên \(\hat{AMB}=\hat{MAC}+\hat{MCA}=2\cdot\hat{ACB}\)
=>\(\sin AMB=\sin\left(2\cdot ACB\right)=2\cdot\sin ACB\cdot cosACB\)
