PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Câu 1. Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\). Gọi \(E, F\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(AA'\). Cho biết \(AB = 2\), \(BC = \sqrt{13}\), \(CC' = 4\). Tính số đo của góc nhị diện \([A, CE, F]\) (làm tròn đến hàng đơn vị).
Ta có lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ nên AA’ vuông góc với mặt phẳng đáy ABC và CC’ = AA’ = 4.
Tam giác ABC vuông tại A, biết AB = 2, BC = √13 nên
AC = √(BC² − AB²) = √(13 − 4) = 3.
Đặt hệ trục tọa độ sao cho
A(0,0,0), B(2,0,0), C(0,3,0).
Khi đó A’(0,0,4).
E là trung điểm AB nên E(1,0,0).
F là trung điểm AA’ nên F(0,0,2).
Góc nhị diện [A, CE, F] là góc giữa hai mặt phẳng (ACE) và (FCE).
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ACE):
AC = (0,3,0), AE = (1,0,0)
n₁ = AC × AE = (0,0,−3).
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (FCE):
CF = (0,−3,2), CE = (1,−3,0)
n₂ = CF × CE = (6,2,3).
Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai vectơ pháp tuyến:
cosθ = |n₁·n₂| / (|n₁|·|n₂|)
= |(0,0,−3)·(6,2,3)| / (3·√(36+4+9))
= 9 / (3·7)
= 3/7.
Suy ra
θ = arccos(3/7) ≈ 64,6°.
Làm tròn đến hàng đơn vị ta được góc nhị diện bằng 65°.
