Question

Câu 11. Gọi \( D \) là hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số \( y = \sqrt{x}, y = \frac{1}{2} \sqrt{x} \) và hai đường thẳng \( x = 0, x = 4 \).
Xác định tính đúng, sai của các khẳng định sau:

\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\text{Mệnh đề} & \text{Đúng} & \text{Sai} \\
\hline
\text{a)} & \text{Gọi } V_1 \text{ là thể tích của khối tròn xoay được tạo khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường } y = 0, y = \sqrt{x}, x = 0, x = 4 \text{ quanh trục } Ox. \text{ Khi đó, } & \\
& V_1 = \pi \int_{0}^{4} x \, dx. & \\
\hline
\text{b)} & \text{Gọi } V_2 \text{ là thể tích của khối tròn xoay được tạo khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường } y = 0, y = \frac{1}{2} \sqrt{x}, x = 0, x = 4 \text{ quanh trục } Ox. \text{ Khi đó, } & \\
& V_2 = \pi \int_{0}^{4} \frac{1}{4} x \, dx. & \\
\hline
\text{c)} & \text{Giá trị của biểu thức } V_1 - V_2 \text{ bằng } 12 \pi. & \\
\hline
\text{d)} & \text{Một vật thể } A \text{ có hình dạng được tạo khi quay hình phẳng } D \text{ quanh trục } Ox \text{ (đơn vị trên hai trục tính theo centimet). Thể tích của vật thể đó (làm tròn đến hàng phần mười theo đơn vị centimet khối) là } 37,7 \text{cm}^3. & \\
\hline
\end{array}
\]

Answer 1

a) \(V_1=\pi\int\limits^4_0\left(\sqrt{x}-0\right)^2dx=\pi\int\limits^4_0xdx\RightarrowĐúng\)

b) \(V_2=\pi\int\limits^4_0\left(\dfrac{1}{2}\sqrt{x}-0\right)^2dx=\pi\int\limits^4_0\dfrac{1}{4}xdx\Rightarrow Sai\)

c) \(V_1=\pi\left[\dfrac{x^2}{2}\right]^4_0=8\pi\)

\(V_2=\pi\left[\dfrac{x^2}{8}\right]^4_0=2\pi\)

\(\Rightarrow V_1-V_2=6\pi\Rightarrow Sai\)

d) Thể tích của vật thể A là:

\(V_A=\pi\int\limits^4_0\left(\left(\sqrt{x}\right)^2-\left(\dfrac{1}{2}\sqrt{x}\right)^2\right)dx=\pi\int\limits^4_0\left(x-\dfrac{1}{4}x\right)dx\)

\(\Rightarrow V_A=\pi\int\limits^4_0\dfrac{3}{4}xdx=\left[\dfrac{3x^2}{8}\right]^4_0=6\pi\approx18,84\left(cm^3\right)\Rightarrow Sai\)