Question

2. Cho phương trình \( x^2 - 2x + m - 1 = 0 \) (m là tham số). Tìm các giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm \( x_1, x_2 \) thỏa mãn hệ thức \( x_1^4 - x_1^3 = x_2^4 - x_2^3 \)

Answer 1

\(\text{Δ}=\left(-2\right)^2-4\left(m-1\right)=4-4m+4=-4m+8\)

Để phương trình có hai nghiệm thì Δ>=0

=>-4m+8>=0

=>-4m>=-8

=>m<=2

Theo Vi-et, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=2\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=m-1\end{matrix}\right.\)

\(x_1^4-x_1^3=x_2^4-x_2^3\)

=>\(x_1^4-x_2^4-\left(x_1^3-x_2^3\right)=0\)

=>\(\left(x_1-x_2\right)\left(x_1+x_2\right)\left(x_1^2+x_2^2\right)-\left(x_1-x_2\right)\left(x_1^2+x_2^2+x_1x_2\right)=0\)

=>\(\left(x_1-x_2\right)\left(2x_1^2+2x_2^2-x_1^2-x_2^2-x_1x_2\right)=0\)

=>\(\left(x_1-x_2\right)\left(x_1^2+x_2^2-x_1x_2\right)=0\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}x_1-x_2=0\\x_1^2+x_2^2-x_1x_2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x_1=x_2\\\left(x_1+x_2\right)^2-3x_1x_2=0\end{matrix}\right.\)

TH1: \(x_1=x_2\)

=>\(x_1=x_2=\dfrac{x_1+x_2}{2}=\dfrac{2}{2}=1\)

\(x_1x_2=m-1\)

=>m-1=1

=>m=2(nhận)

TH2: \(\left(x_1+x_2\right)^2-3x_1x_2=0\)

=>\(2^2-3\left(m-1\right)=0\)

=>4-3(m-1)=0

=>3(m-1)=4

=>m-1=4/3

=>\(m=\dfrac{7}{3}\)(loại)