```
Dạng 5: Dấu hai nghiệm của phương trình \( ax^2+bx+c=0 \)
Lý thuyết:
- ... trái dấu \(\Leftrightarrow ac<0\)
- ... cùng dấu \(\Leftrightarrow
\begin{cases}
a \neq 0 \\
\Delta \geq 0 \\
P > 0
\end{cases}\)
- ... cùng dương \(\Leftrightarrow
\begin{cases}
a \neq 0 \\
\Delta \geq 0 \\
P > 0 \\
S > 0
\end{cases}\)
- ... cùng âm \(\Leftrightarrow
\begin{cases}
a \neq 0 \\
\Delta \geq 0 \\
P > 0 \\
S < 0
\end{cases}\)
Bài tập:
Bài 2: Không giải pt, hãy tìm dấu các nghiệm của mỗi pt sau:
a) \(3x^2 +23x -201 = 0\)
b) \(x^2 -24x + 145 = 0\)
c) \(x^2 +5x + 29 = 0\)
d) \((2m^2 +15)x^2 +3mx -3 -m^2 = 0\)
Bài 3: Cho pt: \(x^2 -(7m+3)x -2m+4 = 0\)
Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu.
Khi đó nghiệm nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn?
Bài 4: Cho pt: \(x^2 +2(m-1)x -2m+5 = 0\)
Tìm m để pt có hai nghiệm cùng dấu.
Bài 5: Cho pt: \(x^2 -2(m+3)x +2m-5 = 0\)
Tìm m để pt có hai nghiệm cùng dương.
Bài 6: Cho pt: \(x^2-2(m+4)x +m^2+6m+10=0\)
Tìm m để pt có hai nghiệm đều âm.
Bài 7: Tìm m để pt có hai nghiệm
Bài 3 :
Để pt cho có 2 nghiệm trái dấu khi và chỉ khi
\(\Leftrightarrow P=-2m+4< 0\Leftrightarrow m>2\)
Bài 4 :
Để pt cho có 2 nghiệm cùng dấu khi và chỉ khi
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=\left(m-1\right)^2+2m-5\ge0\\P=-2m+5>0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\le-2\cup m\ge2\\m< \dfrac{5}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow m\le-2\)
Bài 5 :
Để pt cho có 2 nghiệm cùng dương khi và chỉ khi
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=\left(m+3\right)^2-2m-5\ge0\\P=2m-5>0\\S=2\left(m+3\right)>0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(m+2\right)^2\ge0\left(đúng\right)\\m>\dfrac{5}{2}\\m>-3\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow m>\dfrac{5}{2}\)
Bài 7:
a: Để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì 1(4m-1)<0
=>4m-1<0
=>4m<1
=>\(m< \dfrac{1}{4}\)
b: Để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì \(2\left(-3m-1\right)< 0\)
=>-3m-1<0
=>-3m<1
=>\(m>-\dfrac{1}{3}\)
c: Để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì \(-3\left(m^2-3m+2\right)< 0\)
=>\(m^2-3m+2>0\)
=>(m-1)(m-2)>0
=>\(\left[{}\begin{matrix}m>2\\m< 1\end{matrix}\right.\)
d: Để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì \(\left(m^2+2\right)\left(m^2-7m+12\right)< 0\)
mà \(m^2+2>0\forall m\)
nên \(m^2-7m+12< 0\)
=>(m-3)(m-4)<0
=>3<m<4
Bài 9:
a: \(x^2-4x-2m-2=0\)
\(\text{Δ}=\left(-4\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-2m-2\right)=16+8m+8=8m+24\)
Theo Vi-et, ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=4\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=-2m-2\end{matrix}\right.\)
Để phương trình có hai nghiệm dương thì:
\(\left\{{}\begin{matrix}\text{Δ}>0\\x_1+x_2>0\\x_1x_2>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}8m+24>0\\4>0\left(đúng\right)\\-2m-2>0\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}m>-3\\m< -1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow-3< m< -1\)
b: \(x^2-\left(m-3\right)x-3m-1=0\)
\(\text{Δ}=\left[-\left(m-3\right)\right]^2-4\cdot1\cdot\left(-3m-1\right)\)
\(=m^2-6m+9+12m+4\)
\(=m^2+6m+13=\left(m+3\right)^2+4>0\)
=>Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
Theo Vi-et, ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=m-3\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=-3m-1\end{matrix}\right.\)
Để phương trình có hai nghiệm dương thì \(\left\{{}\begin{matrix}\text{Δ}>0\\x_1+x_2>0\\x_1x_2>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m-3>0\\-3m-1>0\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}m>3\\3m+1< 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m\in\varnothing\)
c: \(x^2+2\left(m+1\right)x+m^2-3m+2=0\)
\(\text{Δ}=\left[2\left(m+1\right)\right]^2-4\left(m^2-3m+2\right)\)
\(=4m^2+8m+4-4m^2+12m-8=16m-4\)
Theo Vi-et, ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=-2\left(m+1\right)\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=m^2-3m+2=\left(m-1\right)\left(m-2\right)\end{matrix}\right.\)
Để phương trình có hai nghiệm đều dương thì
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2>0\\x_1x_2>0\\\text{Δ}>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}16m-4>0\\-2\left(m+1\right)>0\\\left(m-1\right)\left(m-2\right)>0\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}m>\dfrac{1}{4}\\m< -1\\\left[{}\begin{matrix}m>2\\m< 1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m\in\varnothing\)
d: \(x^2-2\left(m+2\right)x+m^2+2m-3=0\)
\(\text{Δ}=\left[-2\left(m+2\right)\right]^2-4\left(m^2+2m-3\right)\)
\(=4m^2+8m+4-4m^2-8m+12=16>0\)
Theo Vi-et, ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=2\left(m+2\right)=2m+4\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=m^2+2m-3\end{matrix}\right.\)
Để phương trình có hai nghiệm đều dương thì \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2>0\\x_1x_2>0\\\text{Δ}>0\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}2\left(m+2\right)>0\\m^2+2m-3>0\\16>0\left(đúng\right)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m+2>0\\\left(m+3\right)\left(m-1\right)>0\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}m>-2\\\left[{}\begin{matrix}m>1\\m< -3\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m>1\)
