Question

Cho hai biểu thức \( A = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x-2}} \) và \( B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x-3}} - \frac{6\sqrt{x}}{\sqrt{x-9}} \) với \( x \geq 0; x \neq 4; x \neq 9 \).

1) Tính giá trị của biểu thức \( A \) khi \( x = 25 \).

2) Chứng minh \( B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+3}} \).

3) Xét biểu thức \( P = A : B \). Tìm tất cả các giá trị của \( x \) để \( P = \frac{4x+3}{\sqrt{x-2}} \).

Answer 1

1: Thay x=25 vào A, ta được:

\(A=\dfrac{5}{5-2}=\dfrac{5}{3}\)

2: \(B=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}-\dfrac{6\sqrt{x}}{x-9}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}-\dfrac{6\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+3\right)-6\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}=\dfrac{x-3\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-3\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}\)

3: \(P=A:B=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}:\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}=\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}\)

\(P=\dfrac{4x+3}{\sqrt{x}-2}\)

=>\(\dfrac{4x+3}{\sqrt{x}-2}=\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}\)

=>\(4x+3=\sqrt{x}+3\)

=>\(4x-\sqrt{x}=0\)

=>\(\sqrt{x}\left(4\sqrt[]{x}-1\right)=0\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}x=0\left(nhận\right)\\x=\dfrac{1}{16}\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)

Answer 2

a. thay x = 25 vào A ta được:

\(\dfrac{\sqrt{25}}{\sqrt{25}-2}=\dfrac{5}{5-2}=\dfrac{5}{3}\)

vậy tại x = 25 thì A = 5/3

\(\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}-\dfrac{6\sqrt{x}}{x-9}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}-\dfrac{6\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}\\ =\dfrac{\sqrt{x}\cdot\left(\sqrt{x}+3\right)-6\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}\\ =\dfrac{x+3\sqrt{x}-6\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}\\ =\dfrac{x-3\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}\\ =\dfrac{\sqrt{x}\cdot\left(\sqrt{x}-3\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}\)

c. 

\(P=A:B=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}:\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}\\ =\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}\cdot\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}}=\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}\)

để P = \(\dfrac{4x+3}{\sqrt{x}-2}\) thì \(\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}=\dfrac{4x+3}{\sqrt{x}-2}\)

=> \(\sqrt{x}+3=4x+3\)

<=> \(-4x+\sqrt{x}=0\)

=> \(\left\{{}\begin{matrix}x_1=0\left(TM\right)\\x_2=\dfrac{1}{16}\left(TM\right)\end{matrix}\right.\)

vậy ...