Question

Bài 1. Cho tam giác ABC cân tại A, hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H.
a) Chứng minh bốn điểm B, F, E, C cùng thuộc một đường tròn;
b) Gọi I, K lần lượt là hai điểm trên BH và CH sao cho \( HE = HI, HF = HK \). Chứng minh rằng bốn điểm E, F, I, K cùng thuộc một đường tròn.
c) Gọi M là trung điểm của AH. Tìm điều kiện của tam giác ABC để điểm M thuộc đường tròn đi qua bốn điểm E, F, I, K.

Answer 1

a: Xét tứ giác BFEC có \(\hat{BFC}=\hat{BEC}=90^0\)

nên BFEC là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính BC

=>B,F,E,C cùng thuộc một đường tròn

b: Xét ΔAEB vuông tại E và ΔAFC vuông tại F có

AB=AC

\(\hat{BAE}\) chung

Do đó: ΔAEB=ΔAFC

=>AE=AF

Ta có: AE+EC=AC

AF+FB=AB

mà AE=AF và AC=AB

nên EC=FB

Xét ΔHFB vuông tại F và ΔHEC vuông tại E có

FB=EC

\(\hat{HBF}=\hat{HCE}\) \(\left(=90^0-\hat{BAC}\right)\)

Do đó: ΔHFB=ΔHEC

=>HF=HE

mà KF=2HF và IE=2HE

nên IE=FK

Xét tứ giác FEKI có

H là trung điểm chung của FK và EI

=>FEKI là hình bình hành

Hình bình hành FEKI có FK=EI

nên FEKI là hình chữ nhật

=>F,E,K,I cùng thuộc đường tròn có hai đường kính là FK và EI

=>F,E,K,I cùng thuộc (H;HI)

c: Để M nằm trên đường tròn đi qua bốn đỉnh F,E,K,I

thì M thuộc (H;HI)

=>HM=HF

ΔAFH vuông tại F

mà FM là đường trung tuyến

nên \(FM=MA=MH\)

Xét ΔMFH có MF=MH=FH

nên ΔMFH đều

=>\(\hat{FHM}=60^0\)

ΔAFH vuông tại F

=>\(\hat{FHA}+\hat{FAH}=90^0\)

=>\(\hat{FAH}=90^0-60^0=30^0\)

Xét ΔAFH vuông tại F và ΔAEH vuông tại E có

AH chung

AF=AE

Do đó: ΔAFH=ΔAEH

=>\(\hat{FAH}=\hat{EAH}\)

=>AH là phân giác của góc BAC

=>\(\hat{BAC}=2\cdot\hat{FAH}=2\cdot30^0=60^0\)

Vậy: Nếu ΔABC có thêm một điều kiện là \(\hat{BAC}=60^0\) thì điểm M nằm trên đường tròn đi qua bốn đỉnh F,E,K,I