Bài 18:
a) Với m = 2 ta có phương trình hoành độ giao điểm là:
\(x^2=4\cdot2x-4\cdot2^2+2\)
\(\Leftrightarrow x^2=8x-14\)
\(\Leftrightarrow x^2-8x+14=0\)
\(\Delta=\left(-8\right)^2-4\cdot1\cdot14=8>0\)
Tọa độ giao điểm 1:
\(x_1=\dfrac{8+2\sqrt{2}}{2}=4+\sqrt{2}\Rightarrow y_1=18+8\sqrt{2}\)
Tọa độ giao điểm 2:
\(x_2=\dfrac{8-2\sqrt{2}}{2}=4-\sqrt{2}\Rightarrow y_2=18-8\sqrt{2}\)
b) Ta có pt hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:
\(x^2=4mx-4m^2+m\)
\(\Leftrightarrow x^2-4mx+4m^2-m=0\)
\(\Delta=\left(-4m\right)^2-4\cdot1\cdot\left(4m^2-m\right)=16m^2-16m^2+4m=4m\)
Có 2 nghiệm phân biệt khi \(m>0\)
Theo vi-et và đề bài ta có::
\(\left\{{}\begin{matrix}x_A+x_B=4m\\x_Ax_B=4m^2-m\\x_A=3x_B\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow4x_B=4m\Rightarrow x_B=m\)
\(\Rightarrow x_A=\dfrac{4m^2-m}{m}=4m-1\)
Mà: \(x_A=3x_B\)
Ta có: \(4m-1=3m\)
\(\Leftrightarrow m=1\left(tm\right)\)
Bài 19:
a: Phương trình hoành độ giao điểm là:
\(\dfrac{1}{2}x^2=x-m+2\)
=>\(x^2=2x-2m+4\)
=>\(x^2-2x+2m-4=0\)(1)
\(\text{Δ}=\left(-2\right)^2-4\cdot1\cdot\left(2m-4\right)\)
\(=4-8m+16=-8m+20\)
Để (P) tiếp xúc với (d) thì Δ=0
=>-8m+20=0
=>m=2,5
Khi đó, phương trình (1) sẽ trở thành:
\(x^2-2x+2\cdot2,5-4=0\)
=>\(x^2-2x+1=0\)
=>(x-1)^2=0
=>x=1
Thay x=1 vào (P), ta được:
\(y=\dfrac{1}{2}\cdot1^2=\dfrac{1}{2}\)
Vậy: Tọa độ tiếp điểm là \(A\left(1;\dfrac{1}{2}\right)\)
b: Theo Vi-et, ta có:
\(x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=2;x_1x_2=\dfrac{c}{a}=2m-4\)
Để (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt thì Δ>0
=>-8m+20>0
=>-8m>-20
=>m<2,5
\(y_1+y_2>3x_1x_2\)
=>\(\dfrac{1}{2}\left(x_1^2+x_2^2\right)>3x_1x_2\)
=>\(\dfrac{1}{2}\left[\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\right]>3x_1x_2\)
=>\(\dfrac{1}{2}\left[2^2-2\left(2m-4\right)\right]>3\cdot\left(2m-4\right)\)
=>\(\dfrac{1}{2}\left(4-4m+8\right)>3\left(2m-4\right)\)
=>\(\dfrac{1}{2}\left(-4m+12\right)>3\left(2m-4\right)\)
=>\(-2m+6-6m+12>0\)
=>-8m+18>0
=>-8m>-18
=>m<18/8=9/4
