a:
BC=BH+CH
=3,6+6,4
=10(cm)
Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao
nên \(\left\{{}\begin{matrix}AH^2=HB\cdot HC\\AC^2=CH\cdot CB\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AH=\sqrt{3.6\cdot6.4}=4.8\left(cm\right)\\AC=\sqrt{6.4\cdot10}=8\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)
Xét ΔABC vuông tại A có \(sinB=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{4}{5}\)
=>\(\widehat{B}\simeq53^0\)
=>\(\widehat{C}\simeq37^0\)
b: ΔAHB vuông tại H có HM là đường cao
nên \(AM\cdot AB=AH^2\left(1\right)\) và \(AM\cdot MB=HM^2\)
ΔAHC vuông tại H có HN là đường cao
nên \(AN\cdot AC=AH^2\left(2\right)\) và \(AN\cdot NC=NH^2\)
Từ (1),(2) suy ra \(AM\cdot AB=AN\cdot AC\)
c: Xét tứ giác AMHN có
\(\widehat{AMH}=\widehat{ANH}=\widehat{MAN}=90^0\)
Do đó: AMHN là hình chữ nhật
=>AH=MN
\(AM\cdot MB+AN\cdot NC\)
\(=HM^2+HN^2=MN^2\)
\(=AH^2=HB\cdot HC\)
c: AK vuông góc MN
=>\(\widehat{KAC}+\widehat{ANM}=90^0\)
=>\(\widehat{KAC}+\widehat{AHM}=90^0\)
=>\(\widehat{KAC}+\widehat{B}=90^0\)
=>\(\widehat{KAC}=\widehat{C}\)
=>KA=KC
\(\widehat{KAB}=90^0-\widehat{KAC};\widehat{KBA}=90^0-\widehat{C}\)
mà \(\widehat{KAC}=\widehat{C}\)
nên \(\widehat{KAB}=\widehat{KBA}\)
=>KA=KB
=>KB=KC
=>K là trung điểm của BC
