a: H đối xứng I qua BC
=>BC là đường trung trực của HI
=>BC⊥HI tại trung điểm của HI
B nằm trên đường trung trực của HI
=>BH=BI
=>ΔBHI cân tại B
=>\(\hat{BHI}=\hat{BIH}\)
=>\(\hat{BHI}=\hat{BIA}=\hat{BCA}\)
Vì AD⊥BC
và DH⊥BC
nên A,D,H thẳng hàng
=>A,H,D,I thẳng hàng
\(\hat{BHI}+\hat{DBH}=90^0\) (ΔDBH vuông tại D)
=>\(\hat{DBH}+\hat{ACB}=90^0\)
=>BH⊥AC
Xét ΔABC có
AD,BH là các đường cao
AD cắt BH tại H
Do đó: H là trực tâm của ΔABC
b: H là trực tâm của ΔABC
=>BH⊥AC tại E
Xét tứ giác ABDE có \(\hat{AEB}=\hat{ADB}=90^0\)
nên ABDE là tứ giác nội tiếp
=>\(\hat{EDB}+\hat{EAB}=180^0\)
mà \(\hat{EDB}+\hat{CDE}=180^0\) (hai góc kề bù)
nên \(\hat{CDE}=\hat{CAB}\)
=>\(\hat{BAC}=\hat{FDB}\)
mà \(\hat{FDB}+\hat{FDC}=180^0\) (hai góc kề bù)
nên \(\hat{FDC}+\hat{FAC}=180^0\)
=>CDFA là tứ giác nội tiếp
=>\(\hat{CFA}=\hat{CDA}=90^0\)
=>CF⊥AB tại F
Xét ΔABC có
CF là đường cao
H là trực tâm
Do đó: C,H,F thẳng hàng
