a: Xét (O) có
AM,AH là các tiếp tuyến
Do đó AM=AH và OA là phân giác của góc HOM
OA là phân giác của góc HOM
=>\(\hat{HOM}=2\cdot\hat{HOA}\)
Xét (O) có
BH,BN là các tiếp tuyến
Do đó: BH=BN và OB là phân giác của góc HON
OB là phân giác của góc HON
=>\(\hat{HON}=2\cdot\hat{HOB}\)
Ta có: \(\hat{HOM}+\hat{HON}=\hat{MON}\)
=>\(\hat{MON}=2\left(\hat{HOA}+\hat{HOB}\right)=2\cdot\hat{AOB}=180^0\)
=>M,O,N thẳng hàng
ΔOMH cân tại O
mà OP là đường phân giác
nên OP⊥MH tại P và P là trung điểm của MH
ΔOHN cân tại O
mà OQ là đường phân giác
nên OQ⊥HN tại Q và Q là trung điểm của NH
Xét ΔOHA vuông tại H có HP là đường cao
nên \(OP\cdot OA=OH^2\left(1\right)\)
Xét ΔOHB vuông tại H có HQ là đường cao
nên\(OQ\cdot OB=OH^2\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra \(OP\cdot OA=OQ\cdot OB\)
b: Gọi X là trung điểm của AB
=>X là tâm đường tròn đường kính AB
ΔCAB vuông tại C
=>C nằm trên đường tròn đường kính AB
Xét hình thang AMNB có
O,X lần lượt là trung điểm của MN,AB
=>OX là đường trung bình của hình thang AMNB
=>OX//AM//BN
=>OX⊥MN
Xét (X) có
XO là bán kính
MN⊥XO tại O
Do đó: MN là tiếp tuyến tại O của (X)
