Đặt \(S=\left(99+97+95+...+3+1\right)-\left(2+4+6+...+96+98\right)\)

Đặt \(A=99+97+95+...+3+1\)

\(B=2+4+6+...+96+98\)

Số số hạng của A:

\(\left(99-1\right):2+1=50\) (số)

\(A=\left(99+1\right).50:2=2500\)

Số số hạng của B:

\(\left(98-2\right):2+1=49\) (số)

\(B=\left(98+2\right).49:2=2450\)

\(\Rightarrow S=A-B=2500-2450=50\)

\(x^2-x+1\)

\(=x^2-2.x.\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}\)

\(=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\)

Do \(\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2\ge0\) với mọi \(x\in R\)

\(\Rightarrow\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{3}{4}\) với mọi \(x\in R\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức đã cho là \(\dfrac{3}{4}\) khi \(x=\dfrac{1}{2}\)

(Không có giá trị lớn nhất)

\(-4x^2+x-1\)

\(=-4\left(x^2-\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{4}\right)\)

\(=-4\left(x^2-2.x.\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{64}+\dfrac{15}{64}\right)\)

\(=-4\left(x-\dfrac{1}{8}\right)^2-\dfrac{15}{16}\)

Do \(\left(x-\dfrac{1}{8}\right)^2\ge0\) với mọi \(x\in R\)

\(\Rightarrow-4\left(x-\dfrac{1}{8}\right)^2\le0\) với mọi \(x\in R\)

\(\Rightarrow-4\left(x-\dfrac{1}{8}\right)^2-\dfrac{15}{16}\le-\dfrac{15}{16}\)

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức đã cho là \(-\dfrac{15}{16}\) khi \(x=\dfrac{1}{8}\)

\(5x-3x^2+6\)

\(=-\left(3x^2-5x-6\right)\)

\(=-3\left(x^2-\dfrac{5}{3}x-2\right)\)

\(=-3\left(x^2-2.x.\dfrac{5}{6}+\dfrac{25}{36}-\dfrac{97}{36}\right)\)

\(=-3\left(x-\dfrac{5}{6}\right)^2+\dfrac{97}{12}\)

Do \(\left(x-\dfrac{5}{6}\right)^2\ge0\) với mọi \(x\in R\)

\(\Rightarrow-3\left(x-\dfrac{5}{6}\right)^2\le0\) với mọi \(x\in R\)

\(\Rightarrow-3\left(x-\dfrac{5}{6}\right)^2+\dfrac{97}{12}\le\dfrac{97}{12}\)

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức đã cho là \(\dfrac{97}{12}\) khi \(x=\dfrac{5}{6}\)

\(-x^2+2x+7\)

\(=-\left(x^2-2x-7\right)\)

\(=-\left(x^2-2x+1-8\right)\)

\(=-\left(x^2-2x+1\right)+8\)

\(=-\left(x-1\right)^2+8\)

Do \(\left(x-1\right)^2\ge0\) với mọi \(x\in R\)

\(\Rightarrow-\left(x-1\right)^2\le0\) với mọi \(x\in R\)

\(\Rightarrow-\left(x-1\right)^2=8\le8\) với mọi \(x\in R\)

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức đã cho là 8 khi x = 1

ĐKXĐ: \(m\ne0\)

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d):

\(x^2=2mx+2m-3\)

\(x^2-2mx-2m+3=0\)

\(\Delta=\left(-2m\right)^2-4.1.\left(-2m+3\right)\)

\(=4m^2+8m-12\)

\(=4.\left(m^2+2m-3\right)\)

Để (P) tiếp xúc với (d) thì \(\Delta=0\)

\(4\left(m^2+2m-3\right)=0\)

\(m^2+2m-3=0\)

\(\Delta_m=2^2-4.1.\left(-3\right)=16\)

\(m_1=\dfrac{-2+\sqrt{16}}{2}=1\) (nhận)

\(m_2=\dfrac{-2-\sqrt{16}}{2}=-3\) (nhận)

Vậy \(m=-3;m=1\) thì (P) và (d) tiếp xúc

ĐKXĐ: \(m\ne1\)

Phương trình hoành độ giao điểm cỉa (P) và (d):

\(x^2=\left(m-1\right)x+m+4\)

\(x^2-\left(m-1\right)x-m-4=0\)

\(\Delta=\left[-\left(m-1\right)\right]^2-4.1.\left(-m-4\right)\)

\(=m^2-2m+1+4m+16\)

\(=m^2+2m+17\)

\(=\left(m+1\right)^2+16>0\) (với mọi \(m\in R\) và \(m\ne1\))

Theo Vi-ét, ta có:

\(x_1.x_2=-m-4\)

Để (P) cắt (d) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung thì:

\(-m-4< 0\)

\(-m< 4\)

\(m>-4\)

Vậy \(m>-4\) thì (P) cắt (d) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P):

\(2x+m=\dfrac{1}{2}x^2\)

\(x^2=4x+2m\)

\(x^2-4x-2m=0\)

\(\Delta=\left(-4\right)^2-4.1.\left(-2m\right)=16+8m\)

Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì \(\Delta>0\)

\(16+8m>0\)

\(8m>-16\)

\(m>-2\)

Vậy m > -2 thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt

Chu vi mặt nền:

\(\left(9+6\right).2=30\left(m\right)\)

Trung bình mỗi em học sinh quét số m là:

\(30:2=15\left(m\right)\)

ĐKXĐ: \(m\ne1\)

Thay y = 2 vào đường thẳng \(y=-x+3\), ta có:

\(-x+3=2\)

\(-x=2-3\)

\(-x=-1\)

\(x=1\)

Thay \(x=1;y=2\) vào (1), ta có:

\(\left(1-m\right).1^2=2\)

\(1-m=2\)

\(m=1-2\)

\(m=-1\) (nhận)

Vậy \(m=-1\) thì đồ thị hàm số \(y=\left(1-m\right)x^2\) cắt đường thẳng \(y=-x+3\) tại điểm có tung độ bằng 2