Question

Cho đường thẳng $(d): \, y=2mx+2m-3$ và parabol $(P): \, y=x^2$ Tìm $m$ để đường thẳng $(d)$ tiếp xúc với parabol $(P)$.

Answer 1

Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x^2=2mx+2m-3\)

=>\(x^2-2mx-2m+3=0\)(1)

Để (d) tiếp xúc với (P) thì phương trình (1) có nghiệm kép

=>Δ=0

=>\(\left(-2m\right)^2-4\left(-2m+3\right)=0\)

=>\(4m^2+8m-12=0\)

=>\(m^2+2m-3=0\)

=>(m+3)(m-1)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}m+3=0\\m-1=0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}m=-3\\m=1\end{matrix}\right.\)

Answer 2

ĐKXĐ: \(m\ne0\)

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d):

\(x^2=2mx+2m-3\)

\(x^2-2mx-2m+3=0\)

\(\Delta=\left(-2m\right)^2-4.1.\left(-2m+3\right)\)

\(=4m^2+8m-12\)

\(=4.\left(m^2+2m-3\right)\)

Để (P) tiếp xúc với (d) thì \(\Delta=0\)

\(4\left(m^2+2m-3\right)=0\)

\(m^2+2m-3=0\)

\(\Delta_m=2^2-4.1.\left(-3\right)=16\)

\(m_1=\dfrac{-2+\sqrt{16}}{2}=1\) (nhận)

\(m_2=\dfrac{-2-\sqrt{16}}{2}=-3\) (nhận)

Vậy \(m=-3;m=1\) thì (P) và (d) tiếp xúc