Question

Cho parabol $(P): \, y=x^2$ và đường thẳng $d: \, y=(m-1)x+m+4$ ($m$ là tham số). Tìm điều kiện của tham số $m$ để $d$ cắt $(P)$ tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung.

Answer 1

Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x^2=\left(m-1\right)x+m+4\)

=>\(x^2-\left(m-1\right)x-\left(m+4\right)=0\)(1)

Để (P) cắt (d) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu

=>\(a\cdot c< 0\)

=>\(1\cdot\left[-\left(m+4\right)\right]< 0\)

=>-(m+4)<0

=>m+4>0

=>m>-4

Answer 2

ĐKXĐ: \(m\ne1\)

Phương trình hoành độ giao điểm cỉa (P) và (d):

\(x^2=\left(m-1\right)x+m+4\)

\(x^2-\left(m-1\right)x-m-4=0\)

\(\Delta=\left[-\left(m-1\right)\right]^2-4.1.\left(-m-4\right)\)

\(=m^2-2m+1+4m+16\)

\(=m^2+2m+17\)

\(=\left(m+1\right)^2+16>0\) (với mọi \(m\in R\) và \(m\ne1\))

Theo Vi-ét, ta có:

\(x_1.x_2=-m-4\)

Để (P) cắt (d) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung thì:

\(-m-4< 0\)

\(-m< 4\)

\(m>-4\)

Vậy \(m>-4\) thì (P) cắt (d) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung