Gọi $M$ là trung điểm của $BC$.

Vì $G$ là trọng tâm nên $AG=\dfrac23AM.$

Theo định lý Apollonius trong tam giác $ABC$, ta có

$AB^2+AC^2=2AM^2+\dfrac12BC^2.$

Suy ra $AM^2=\dfrac{2AB^2+2AC^2-BC^2}{4}$$=\dfrac{2c^2+2b^2-a^2}{4}.$

Do đó $GA^2=\dfrac49AM^2$$=\dfrac{2b^2+2c^2-a^2}{9}.$

Tương tự $GB^2=\dfrac{2a^2+2c^2-b^2}{9},$

$GC^2=\dfrac{2a^2+2b^2-c^2}{9}.$

Cộng ba đẳng thức trên:

$GA^2+GB^2+GC^2$

$=\dfrac{2b^2+2c^2-a^2+2a^2+2c^2-b^2+2a^2+2b^2-c^2}{9}$

$=\dfrac{3a^2+3b^2+3c^2}{9}$

$=\dfrac13(a^2+b^2+c^2).$

Vậy $GA^2+GB^2+GC^2=\dfrac13(a^2+b^2+c^2).$

Mọi người đừng làm nhé,mình gửi ảnh mà wed làm thành bài nào lớp `10` đó nhé!

Bài mình gửi là này này nhé,mọi người xem giúp mình !

`a)` Gọi `G` là điểm đối xứng của `E` qua `P`

Khi đó `DG = 2PM`

Có `(DH)/(OP) = (AD)/(AP) = (DA . DP)/(PD . PA) = (DB . DC)/(PB^2) = (DB . DC)/(PB^2) = (DB . DC)/(PM . 2R)`

`->DH = (DB . DC)/(2PM) = (DB . DC)/(DG)`

`->DH . DG = DB . DC`

`->` Bốn điểm `B, H, C, G` đồng viên (1)

Do `M` là trung điểm `BC` nên `OM⊥BC`

Mà `E` đối xứng với `D` qua `M`

`G` đối xứng với `E` qua `P`

`->G,F` đối xứng qua `OM`

`->{(GF⊥OM),(BC⊥OM):}`

`->GF` // `BC`

`->` Tgiác `BGFC` là một hình thang

Do `G,F` đối xứng `OM->\hat(GBC) = \hat(FCB)`

`->` Tgiác `BGFC` là hình thang cân

`->` Bốn điểm `B, G, F, C` đồng viên (2)

Từ (1),(2) `->` Bốn điểm `B, H, F, C` đồng viên

`b)` Gọi `Q'=` Tiếp tuyến tại `A∩BC`

Có `DT . DF = DH . DG`

`->` Tứ giác `THFG` nội tiếp

`->\hat(HTD) = 90^o`

Có `{(\hat(Q'DA) = \hat(ACD) + \hat(CAD)),(\hat(Q'AB) = \hat(ACD)),(\hat(BAD) = \hat(CAD)):}`

`->\hat(Q'AB) + \hat(BAD) = \hat(ACD) + \hat(CAD)`

`->\hat(Q'AD) = \hat(Q'DA)`

`->DeltaQ'AD` cân

`->Q'A = Q'D`

Do `DeltaAHD` cân nên `DeltaAHT=DeltaDHT` (c.g.c)

`->TA=TD`

Mà `HA = HD` và `T` là trung điểm của `AD`

`->H, T, Q'` thẳng hàng

Lại có `\hat(Q'TD) = \hat(QMP) = 90^o `

`->Q'∈(MTP)`

`-> Q≡Q'` (đpcm)

Bạn thử để ngày mai vô xem, tại app mới lên điểm dễ bị lỗi lắm

em cảm ơn thầy giáo ạ ☺

cảm ơn các thầy

E cảm ơn thầy nhiều ạ!

Gọi cụm 1,2,3 đứng cạnh nhau theo thứ tự tăng dần là một khối 123
Ta cần chọn thêm 2 chữ số khác từ 0,4,5,6,7,8,9
Trường hợp không chọn 0: chọn 2 số từ 6 số có C(6,2)=15 cách, sắp xếp với khối 123 có 3! = 6 cách, được 15.6 = 90 số
Trường hợp có chọn 0: chọn thêm 1 số từ 6 số có 6 cách, sắp xếp 0, số đó và khối 123 có 3! = 6 cách, nhưng 0 đứng đầu có 2 cách không hợp lệ, còn 4 cách, được 6.4 = 24 số
Vậy có 90 + 24 = 114 số

Ta có A(x,y)A(x,y)A(x,y) là giao điểm của ddd và Δ:3x−y+1=0⇒y=3x+1\Delta: 3x - y + 1 = 0 \Rightarrow y = 3x + 1Δ:3x−y+1=0⇒y=3x+1. Điều kiện: AM=22⇒(x−2)2+(y−3)2=8AM = 2\sqrt{2} \Rightarrow (x-2)^2 + (y-3)^2 = 8AM=22​⇒(x−2)2+(y−3)2=8 Thay y=3x+1y = 3x+1y=3x+1: (x−2)2+(3x+1−3)2=8(x-2)^2 + (3x+1-3)^2 = 8(x−2)2+(3x+1−3)2=8 (x−2)2+(3x−2)2=8(x-2)^2 + (3x-2)^2 = 8(x−2)2+(3x−2)2=8 Khai triển: x2−4x+4+9x2−12x+4=8x^2 - 4x + 4 + 9x^2 - 12x + 4 = 8x2−4x+4+9x2−12x+4=8 10x2−16x+8=810x^2 - 16x + 8 = 810x2−16x+8=8 10x2−16x=010x^2 - 16x = 010x2−16x=0 2x(5x−8)=02x(5x-8)=02x(5x−8)=0 x=0hoặcx=85x=0 \quad \text{hoặc} \quad x=\frac{8}{5}x=0hoặcx=58​ Chọn x>0⇒x=85x>0 \Rightarrow x=\frac{8}{5}x>0⇒x=58​ y=3⋅85+1=295y = 3\cdot\frac{8}{5} + 1 = \frac{29}{5}y=3⋅58​+1=529​ Vậy A(85,295)A\left(\frac{8}{5}, \frac{29}{5}\right)A(58​,529​). Tìm phương trình đường thẳng ddd qua M(2,3)M(2,3)M(2,3) và A(85,295)A\left(\frac{8}{5}, \frac{29}{5}\right)A(58​,529​) Hệ số góc: k=295−385−2=145−25=−7k=\frac{\frac{29}{5}-3}{\frac{8}{5}-2} =\frac{\frac{14}{5}}{-\frac{2}{5}}=-7k=58​−2529​−3​=−52​514​​=−7 Phương trình: y−3=−7(x−2)⇒y=−7x+17y-3=-7(x-2) \Rightarrow y=-7x+17y−3=−7(x−2)⇒y=−7x+17 Phương trình tổng quát: 7x+y−17=07x + y - 17 = 07x+y−17=0

(C): \(x^2+y^2-2x-4y-25=0\)

=>\(x^2-2x+1+y^2-4y+4-30=0\)

=>\(\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2=30\)

=>Bán kính là \(R=\sqrt{30}\) và tâm là I(1;2)

I(1;2); M(2;1)

\(IM=\sqrt{\left(2-1\right)^2+\left(1-2\right)^2}=\sqrt2<\sqrt{30}\)

=>M nằm trong (O)

Gọi CD là dây nhỏ nhất đi qua M

=>IM⊥CD tại M

ΔICD cân tại I

mà IM là đường cao

nên M là trung điểm của CD

ΔIMC vuông tại M

=>\(IM^2+MC^2=IC^2\)

=>\(MC^2=30-2=28\)

=>\(MC=2\sqrt7\)

M là trung điểm của CD
=>\(CD=2\cdot CM=2\cdot2\sqrt7=4\sqrt7\)

Các bộ ghế cách đều cho 3 học sinh A là 123, 135, 246, 456, 234, 345
Xét điều kiện C chỉ ngồi cạnh B, các cách xếp theo lớp hợp lệ là 6 cách
Vì 3 học sinh A đổi chỗ cho nhau được 3! cách, 2 học sinh B đổi chỗ cho nhau được 2! cách
Số cách xếp là 6 x 3! x 2! = 6 x 6 x 2 = 72 cách
Vậy có 72 cách xếp.