Câu 2:

a: A(3;-5); B(1;0)

\(\overrightarrow{AB}=\left(1-3;0+5\right)\)

=>\(\overrightarrow{AB}=\left(-2;5\right)\)

\(\overrightarrow{OC}=-3\cdot\overrightarrow{AB}\)

=>\(\begin{cases}x_{C}-0=-3\cdot\left(-2\right)=6\\ y_{C}-0=-3\cdot5=-15\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x_{C}=6\\ y_{C}=-15\end{cases}\)

=>C(6;-15)

b:

A(3;-5); C(6;-15); D(x;y)

D đối xứng A qua C

=>\(\begin{cases}x_{A}+x_{D}=2\cdot x_{C}\\ y_{A}+y_{D}=2\cdot y_{C}\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x_{D}+3=2\cdot6=12\\ y_{D}-5=2\cdot\left(-15\right)=-30\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x_{D}=12-3=9\\ y_{D}=-30+5=-25\end{cases}\)

=>D(9;-25)

Câu 5:

a: A(-1;1); B(2;1); C(-1;-3)

\(\overrightarrow{AB}=\left(2+1;1-1\right)=\left(3;0\right)\)

\(\overrightarrow{AC}=\left(-1+1;-3-1\right)=\left(0;-4\right)\)

Vi 0/3<>-4/0

nên A,B,C không thẳng hàng

=>Có tồn tại tam giác ABC

\(\overrightarrow{BC}=\left(-1-2;-3-1\right)=\left(-3;-4\right)\)

=>\(BC=\sqrt{\left(-3\right)^2+\left(-4\right)^2}=5\)

\(\overrightarrow{AB}=\left(3;0\right)\)

=>\(AB=\sqrt{3^2+0^2}=3\)

\(\overrightarrow{AC}=\left(0;-4\right)\)

=>\(AC=\sqrt{0^2+\left(-4\right)^2}=\sqrt{16}=4\)

Vì \(AB^2+AC^2=BC^2\)

nên ΔABC vuông tại A

Chu vi tam giác ABC là:

AB+AC+BC

=3+4+5

=12

Diện tích tam giác ABC là:

\(S_{ABC}=\frac12\cdot AB\cdot AC=\frac12\cdot3\cdot4=3\cdot2=6\)

b: M thuộc Ox nên M(x;0)

A(-1;1); B(2;1)

M cách đều A; B

=>MA=MB

=>\(MA^2=MB^2\)

=>\(\left(-1-x\right)^2+\left(1-0\right)^2=\left(2-x\right)^2+\left(1-0\right)^2\)

=>\(\left(x+1\right)^2=\left(x-2\right)^2\)

=>\(x^2+2x+1=x^2-4x+4\)

=>6x=3

=>x=0,5

=>M(0,5;0)

c: N thuộc trục Oy nên N(0;y)

B(2;1); C(-1;-3)

N cách đều B và C

=>NB=NC

=>\(NB^2=NC^2\)

=>\(\left(0-2\right)^2+\left(1-y\right)^2=\left(0+1\right)^2+\left(-3-y\right)^2\)

=>\(y^2-2y+1+4=y^2+6y+9+1\)

=>6y+10=-2y+5

=>8y=-5

=>\(y=-\frac58\)

=>N(0;-5/8)

Vd1: \(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}\)

=>\(\overrightarrow{IA}=-\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{BI}\)

=>I là trung điểm của AB

Ta có: \(\overrightarrow{CM}=2\cdot\overrightarrow{MB}\)

=>CM=2MB và M nằm giữa C và B

Ta có: BC=BM+CM

=>BC=BM+2MB=3MB

\(\overrightarrow{IM}=\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{BM}\)

\(=\frac12\cdot\overrightarrow{AB}+\frac13\cdot\overrightarrow{BC}=\frac12\cdot\overrightarrow{AB}+\frac13\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)\)

\(=\frac12\cdot\overrightarrow{AB}-\frac13\cdot\overrightarrow{AB}+\frac13\overrightarrow{AC}=\frac16\overrightarrow{AB}+\frac13\cdot\overrightarrow{AC}\)

Vd2:

\(\overrightarrow{AM}-2\cdot\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}\)

=>\(\overrightarrow{AM}=2\cdot\overrightarrow{MB}\)

=>M nằm giữa A và B và AM=2MB

AB=AM+MB

=>AB=2MB+MB=3MB

=>\(BM=\frac13AB;AM=\frac23AB\)

Ta có: \(\overrightarrow{ND}=3\cdot\overrightarrow{NC}\)

=>ND=3NC và C nằm giữa N và D

Ta có: DC+CN=ND

=>DC=ND-NC=3NC-NC=2NC

=>\(DC=\frac23DN\)

\(\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DN}\)

\(=\overrightarrow{AD}+\frac32\cdot\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AD}+\frac32\cdot\overrightarrow{AB}\)

b: \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DN}\)

\(=-\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AD}+\frac32\cdot\overrightarrow{DC}=-\frac23\cdot\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\frac32\cdot\overrightarrow{AB}\)

\(=\frac56\cdot\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\)

a: Tọa độ đỉnh là:

\(\begin{cases}x=-\frac{b}{2a}=\frac{-5}{2\cdot\left(-1\right)}=\frac52\\ y=-\frac{b^2-4ac}{4a}=-\frac{5^2-4\cdot\left(-1\right)\cdot\left(-4\right)}{4\cdot\left(-1\right)}=-\frac{25-16}{-4}=-\frac{9}{-4}=\frac94\end{cases}\)

Vì a=-1<0

nên hàm số nghịch biến trên khoảng (5/2;+∞) và đồng biến trên khoảng (-∞;5/2)

Vẽ đồ thị:

b: Tọa độ đỉnh là:

\(\begin{cases}x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2\cdot1}=-\frac22=-1\\ y=-\frac{b^2-4ac}{4a}=-\frac{2^2-4\cdot1\cdot\left(-3\right)}{4\cdot1}=-\frac{4+12}{4}=-\frac{16}{4}=-4\end{cases}\)

Vì a=1>0 nên hàm số đồng biến trên khoảng (-1;+∞) và nghịch biến trên khoảng (-∞;-1)

Vẽ đồ thị:

1: \(\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AC}\right|\)

\(=\left|\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AC}\right|=\left|2\cdot\overrightarrow{AC}\right|=2\cdot AC=2a\)

2: \(5\cdot\overrightarrow{AD}=2\cdot\overrightarrow{AC}\)

=>\(\overrightarrow{AD}=\frac25\cdot\overrightarrow{AC}\)

=>D nằm giữa A và C và AD=2/5AC

\(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}\)

\(=\overrightarrow{AB}+\frac12\cdot\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}+\frac12\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}\right)\)

\(=\frac12\cdot\overrightarrow{AB}+\frac12\cdot\overrightarrow{AD}=\frac12\cdot\overrightarrow{AB}+\frac12\cdot\frac25\cdot\overrightarrow{AC}=\frac12\cdot\overrightarrow{AB}+\frac15\cdot\overrightarrow{AC}\)

\(\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{AB}+x\cdot\overrightarrow{BC}\)

\(=\overrightarrow{AB}+x\left(\overrightarrow{BA}_{}+\overrightarrow{AC}\right)=\overrightarrow{AB}\left(1-x\right)+x\cdot\overrightarrow{AC}\)

Để A,M,I thẳng hàng thì \(\frac{1-x}{\frac12}=\frac{x}{\frac15}\)

=>2(1-x)=5x

=>5x=2-2x

=>7x=2

=>\(x=\frac27\)

a: ABCD là hình bình hành tâm O

=>O là trung điểm chung của AC và BD

Xét ΔABC có

AI,BO là đường trung tuyến

G là trọng tâm

Do đó: AI cắt BO tại G

\(2\cdot\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}=2\cdot\overrightarrow{AI}\)

b: \(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DB}\)

\(=2\cdot\overrightarrow{DB}\)

Xét ΔABC có

BO là đường trung tuyến

G là trọng tâm

Do đó: \(BG=\frac23BO\)

=>\(OG=\frac13BO=\frac13DO\)

=>\(DO=3\cdot OG\)

=>DB=6OG

DG=DO+OG=3OG+OG=4OG

=>\(DG=\frac23DB\)

=>\(DB=\frac32DG\)

=>\(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}=2\cdot\overrightarrow{DB}=2\cdot\frac32\cdot\overrightarrow{DG}=3\cdot\overrightarrow{DG}\)

Bai giai: Do MA = 2MB nen M chia doan thang AB theo ti so MA:MB = 2:1 (M gan B hon A). Theo cong thuc chia doan thang trong mat phang, toa do diem M duoc tinh boi x_M = (2*x_B + 1*x_A)/(2+1), y_M = (2*y_B + 1*y_A)/(2+1). Thay A(5;2), B(2;5) ta co: x_M = (2*2 + 1*5)/3 = 9/3 = 3, y_M = (2*5 + 1*2)/3 = 12/3 = 4. Vay toa do diem M can tim la (3;4).

Câu 2:

a:ABCD là hình vuông

=>\(CA^2=AB^2+BC^2=a^2+a^2=2a^2\)

=>\(CA=a\sqrt2\)

\(\left|\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}\right|=\left|\overrightarrow{CA}\right|=CA=a\sqrt2\)

b: ABCD là hình vuông có tâm O

=>O là trung điểm chung của AC và BD

ABCD là hình vuông

=>AC=BD

=>\(BD=a\sqrt2\)

=>\(AO=OC=OB=OD=\frac{a\sqrt2}{2}\)

Gọi H là trung điểm của OD

=>\(OH=\frac{OD}{2}=\frac{a\sqrt2}{2}:2=\frac{a\sqrt2}{4}\)

ΔHOC vuông tại O

=>\(OH^2+OC^2=CH^2\)

=>\(CH^2=\left(\frac{a\sqrt2}{4}\right)^2+\left(\frac{a\sqrt2}{2}\right)^2=a^2\cdot\frac{2}{16}+a^2\cdot\frac24=a^2\cdot\frac14+a^2\cdot\frac12=\frac34a^2\)

=>\(CH=\frac{a\sqrt3}{2}\)

\(\left|\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{DC}\right|=\left|\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{DC}\right|=\left|\overrightarrow{CO}+\overrightarrow{CD}\right|\)

\(=2\cdot\left|\overrightarrow{CH}\right|=2\cdot CH=a\sqrt3\)