Đầu tiên ta xếp các bạn nam trước:

- Xếp \(2\) bạn nam để tạo thành một khối

- Xếp \(2\) bạn nam

- Xếp \(4\) phần tử (khối \(2\) nam và \(3\) nam)

Số cách xếp \(5\) bạn nam sao cho có đúng 2 bạn nam đứng cạnh nhau là:

\(C^2_5.2!.4!=10.2.24=480\left(cách\right)\)

Tiếp theo, xếp các bạn nữ vào các vị trí trống : Sau khi xếp \(5\) bạn nam, ta có \(6\) vị trí trống để xếp các bạn nữ vào, số cách chọn sao cho không có bạn nữ nào đứng cạnh nhau :

\(C^3_6=\dfrac{6!}{3!3!}=20\left(cách\right)\)

Số cách xếp \(3\) bạn nữ vào \(3\) vị trí đã chọn là : \(3!=6\left(cách\right)\)

Số cách xếp cả nhóm thỏa mãn yêu cầu là:

\(480.20.6=57600\left(cách\right)\)

a: Đúng

b: \(\left(x+3\right)^2+\left(y-2\right)^2=8\)

=>Tâm là I(-3;2) và bán kính là \(R=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)

=>Sai

c: \(d\left(I;\left(d\right)\right)=\dfrac{\left|-3\cdot2+2\cdot\left(-1\right)+2024\right|}{\sqrt{2^2+\left(-1\right)^2}}=\dfrac{2016}{\sqrt{5}}>2\sqrt{2}\)

=>(d) không cắt (C)

=>Đúng

d: \(d\left(I;\left(d\right)\right)=\dfrac{\left|5\cdot2+2024\cdot\left(-1\right)+2024\right|}{\sqrt{2^2+\left(-1\right)^2}}=\dfrac{10}{\sqrt{5}}=2\sqrt{5}\)

=>Đúng

Phương trình chính tắc của elip là : \(\dfrac{x^2}{a}+\dfrac{y^2}{b}=1\left(E\right)\)

\(\left(E\right)\cap\left(Oy\right):x=0\Rightarrow\dfrac{y^2}{b^2}=1\Rightarrow y=\pm b\)

\(\Rightarrow B_1\left(0;b\right);B_2\left(0;-b\right)\)

\(\Rightarrow F_1\left(c;0\right);F_2\left(-c;0\right)\) với \(c^2=a^2-b^2\)

Theo đề bài ta có \(B_1B_2F_1F_2\) là hình vuông

\(\Rightarrow\) Cạnh hình vuông là \(2c=2b\Rightarrow b=c\Rightarrow b^2=c^2\)

\(\Rightarrow S\left(hình.vuông\right)=\left(2c\right)^2=4c^2=32\)

\(\Rightarrow c^2=8\Rightarrow b^2=8\)

mà \(c^2=a^2-b^2\)

\(\Rightarrow a^2=b^2+c^2=8+8=64\)

\(\Rightarrow2a^2+3b^2=2.64+3.8=56\)

a) \(\left(\Delta\right):2x-y+2024\Rightarrow\overrightarrow{n}=\left(2;-1\right)\RightarrowĐúng\)

b) \(\left(C\right):\left(x+3\right)^2+\left(y-2\right)^2=8\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}I\left(-3;2\right)\\R=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow Sai\)

c) \(I\left(5;2024\right)\)

 \(\left(C\right)\) tiếp xúc \(\left(\Delta\right)\Rightarrow r=d\left(I;\left(\Delta\right)\right)=\dfrac{\left|2.5-2024+2024\right|}{\sqrt{2^2+\left(-1\right)^2}}=2\sqrt{5}\)

\(\Rightarrow r^2=\left(5\sqrt{2}\right)^2=20\)

\(\Rightarrow\) Phương trình đường tròn: \(\left(x-5\right)^2+\left(y-2024\right)^2=20\RightarrowĐúng\)

1.

Có 2 phương pháp đi từ A đến D: theo thứ tự ABD hoặc ACD

Số con đường là: \(3.2+2.3=12\)

2.

Số cách chọn 3 người từ 8 người (có quan tâm thứ tự) là: \(A_8^3=336\)

3.

Kí hiệu N là nam, n là nữ

Có 2 kiểu xếp thỏa mãn:

Kiểu 1: NnNnNnNnNn

Số cách xếp 5 nam vào 5 vị trí N là: \(5!\) cách

Số cách xếp 5 nữ vào 5 vị trí n là: \(5!\) cách

\(\Rightarrow5!.5!=\left(5!\right)^2\) cách

Kiểu 2: nNnNnNnNnN

Tương tự như trên, có \(\left(5!\right)^2\) cách

Vậy tổng cộng có: \(\left(5!\right)^2+\left(5!\right)^2=28800\) cách

4.

Chọn 2 bạn nữ từ 3 bạn và xếp vào 2 ghế 1,2: \(A_3^2=6\) cách

Xếp bạn nữ còn lại vào 4 ghế còn lại: 4 cách

Xếp 3 bạn nam vào 3 ghế còn thừa: \(3!\) cách

Tổng cộng có: \(6.4.3!=144\) cách

5.

Chọn 3 nam từ 10 nam: có \(C_{10}^3\) cách

Chọn 3 nữ từ 6 nữ: có \(C_6^3\) cách

Ghép cặp 3 nam với 3 nữ: \(3!\) cách (đơn giản là hãy tưởng tượng cho 3 nữ xếp hàng ngang đứng yên, sau đó hoán vị 3 nam đứng đối diện 3 nữ, khi đó thấy ngay có 3! cách xếp cặp).

\(\Rightarrow C_{10}^3.C_6^3.3!=14400\) cách

6.

Gọi số đó có dạng \(\overline{abcd}\)

a có 9 cách chọn (khác 0)

b có 9 cách chọn (khác a)

c có 8 cách chọn (khác a và b)

d có 7 cách chọn (khác a,b,c)

Tổng cộng có: \(9.9.8.7=4536\) số

Hoặc 1 cách biện luận khác:

Lập số có 4 chữ số khác nhau bất kì (từ 10 chữ số từ 0 đến 9): có \(A_{10}^4\) cách

Những số này bao gồm cả những số có số 0 đứng đầu, cần loại chúng đi, có \(A_9^3\) số như vậy

Tổng cộng có: \(A_{10}^4-A_9^3=4536\) số

a) \(\overrightarrow{u}=\left(1;3\right)\Rightarrow\overrightarrow{n_{PT}}=\left(-3;1\right)\)

\(PTTS\left(d\right):\left\{{}\begin{matrix}x=5+t\\y=4+3t\end{matrix}\right.\)

\(PTTQ\left(d\right):-3\left(x-5\right)+\left(y-4\right)=0\Leftrightarrow3x-y-11=0\)

b) \(\overrightarrow{n_{PT}}=\left(-1;4\right)\Rightarrow VTCP.\overrightarrow{u}=\left(4;1\right)\)

\(PTTS\left(d\right):\left\{{}\begin{matrix}x=1+4t\\y=2+t\end{matrix}\right.\)

\(PTTQ\left(d\right):-\left(x-1\right)+4\left(y-2\right)=0\Leftrightarrow x-4y+7=0\)

c) \(VTCP:\overrightarrow{CD}=\left(2;4\right)\Rightarrow VTPT:\overrightarrow{n_{PT}}=\left(-4;2\right)=\left(2;-1\right)\)

\(PTTS\left(d\right):\left\{{}\begin{matrix}x=2+2t\\y=2+4t\end{matrix}\right.\)

\(\)\(PTTQ\left(d\right):2\left(x-2\right)-\left(y-2\right)=0\Leftrightarrow2x-y-2=0\)

Bài 2:

a) \(\left(d_1\right):y=x+4\Rightarrow PTTQ:x-y+4=0\)

b) \(\left(d_1\right):y=-\dfrac{2}{3}x+1\Rightarrow PTTQ:2x+3y-3=0\)

c) \(\left(d_1\right):y=-x\Rightarrow PTTQ:x+y=0\)

Bài 3 : \(\left(d\right):VTPT:\overrightarrow{n}=\left(4;2\right)\)

a) \(\left(\Delta_1\right):VTPT:\overrightarrow{n_{PT1}}=\left(1;-2\right)\)

\(\overrightarrow{n}.\overrightarrow{n_{PT1}}=4.1+2.\left(-2\right)=0\Rightarrow\left(d\right)\perp\left(\Delta_1\right)\)

b) \(\left(\Delta_2\right):VTPT:\overrightarrow{n_{PT2}}=\left(2;1\right)\)

Ta thấy \(\dfrac{4}{2}=\dfrac{2}{1}=2\Rightarrow\left(d\right)//\left(\Delta_2\right)\)

c) \(\left(\Delta_3\right):VTCP:\overrightarrow{u_3}=\left(-1;2\right)\Rightarrow VTPT:\overrightarrow{n_{PT}}=\left(-2;-1\right)\)

Ta thấy \(\dfrac{4}{-2}=\dfrac{2}{-1}=-2\Rightarrow\left(d\right)//\left(\Delta_3\right)\)

Số cách chọn sao cho Trọng và Hoa ngồi cạnh nhau là : \(6+5=11\left(cách\right)\)

Xếp \(5\) nam còn lại: \(5!\left(cách\right)\)

Xếp \(5\) nữ còn lại : \(5!\left(cách\right)\)

\(\Rightarrow\) Số cách xếp \(5\) nam và \(5\) nữ còn lại: \(2.5!.5!\left(cách\right)\)

Tổng số cách xếp thỏa mãn đề bài là :

\(11.2.5!.5!=316800\left(cách\right)\)

a) Số cách lấy \(2\) quả cầu đỏ từ \(5\) quả cầu đỏ là :\(C^2_5=\dfrac{5!}{2!\left(5-2\right)!}=10\left(cách\right)\)

Số cách lấy \(2\) quả cầu đỏ từ \(3\) quả cầu đỏ là : \(C^2_3=\dfrac{3!}{2!\left(3-2\right)!}=3\left(cách\right)\)

Vậy tổng số cách để lấy từ mỗi hộp \(2\) quả cầu đỏ là \(10.3=30\left(cách\right)\)

\(\Rightarrow Sai\)

b) Chọn \(1\) quả đỏ và \(1\) quả xanh từ hộp thứ nhất: \(C^1_5.C^1_4=20\left(cách\right)\)

Chọn 2 quả xanh từ hộp thứ hai: \(C^2_7=\dfrac{7!}{2!\left(7-2\right)!}=21\left(cách\right)\)

Vậy số cách chọn thỏa mãn điều kiện bài toán \(20.21=420\left(cách\right)\)

\(\RightarrowĐúng\)