Bài 6: Hệ thức Vi-et và ứng dụng

Đk: a,b>0\(2=a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)=\left(a+b\right)\left[\left(a+b\right)^2-3ab\right]\ge\left(a+b\right)\left[\left(a+b\right)^2-\dfrac{3}{4}\left(a+b\right)^2\right]\)

=\(\dfrac{\left(a+b\right)^3}{4}\)(BĐT cauchy)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)^3\le8\Leftrightarrow a+b\le2\)

dấu = xảy ra khi a=b=1

mà a,b >0 nên a+b >0

Kl:\(0< a+b\le2\)

\(x^2-4x+m+2=0\)

Theo định lý Viet

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=4\\x_1x_2=m+2\end{matrix}\right.\)

Theo đề bài ta có \(x_1^3+x_2^3=28\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^3-3x_1x_2\left(x_1+x_2\right)=28\)

\(\Leftrightarrow4^3-12\left(m+2\right)=28\)

\(\Leftrightarrow12\left(m+2\right)=36\)

\(\Leftrightarrow m+2=3\)

\(\Leftrightarrow m=1\)

a: \(\text{Δ}=\left(2m+2\right)^2-4\left(m-3\right)\left(-3m-1\right)\)

\(=4m^2+8m+4+4\left(3m+1\right)\left(m-3\right)\)

\(=4m^2+8m+4+4\left(3m^2-9m+m-3\right)\)

\(=4m^2+8m+4+12m^2-32m-12\)

\(=16m^2-24m-8\)

Bạn xem lại đề, biểu thức Δ này không thể luôn không âm được

e) Vì pt luôn có nghiệm với mọi m , theo vi-ét ta có :

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m+3\\x_1x_2=m+2\end{matrix}\right.\dfrac{\left(1\right)}{\left(2\right)}\)

Giả sử \(x_1=2x_2\) \(\left(3\right)\)

Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\) ta có hpt :

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m+3\\x_1=2x_2\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x_2=m+3\\x_1=2x_2\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_2=\dfrac{m+3}{3}\\x_1=2x_2\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_2=\dfrac{m+3}{3}\\x_1=\dfrac{2m+6}{3}\end{matrix}\right.\)

Thay \(x_1=\dfrac{2m+6}{3}\) và \(x_2=\dfrac{m+3}{3}\) vào \(\left(2\right)\) ta có :

\(x_1\cdot x_2=m+2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2m+6}{3}\cdot\dfrac{m+3}{3}=m+2\\ \Leftrightarrow\left(2m+6\right)\left(m+3\right)=9\left(m+2\right)\\ \Leftrightarrow2\left(m+3\right)\left(m+3\right)=9m+18\)

\(\Leftrightarrow2\left(m^2+6m+9\right)=9m+18\\ \Leftrightarrow2m^2+12m+18=9m+18\)

\(\Leftrightarrow2m^2+3m=0\)

\(\Leftrightarrow m\left(2m+3\right)=0\\ \Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\\2m+3=0\end{matrix}\right.\\ \left[{}\begin{matrix}m=0\\m=-\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\)

Để PT có 2 nghiệm phân biệt thì

∆ = (2m - 1)² - 4(m² - 1)\(\ge0\)

\(\Leftrightarrow m\le\dfrac{5}{4}\)

Vì x₁ là nghiệm nên

\(\Leftrightarrow x^2_1-\left(2m-1\right)x_1+m^2-1=0\)

\(\Leftrightarrow x^2_1-2mx_1+m^2=x_1+1\)

Thế vào ta dược

\(\left(x^2_1-2mx_1+m^2\right)\left(x_2+1\right)=1\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+1\right)\left(x_2+1\right)=1\)

\(\Leftrightarrow x_1x_2+\left(x_1+x_2\right)=0\)

Thế vô giải tiếp sẽ ra

Để PT có 2 nghiệm phân biệt thì

∆ = (2m - 1)² - 4(m² - 1)

⇔≤54⇔≤54

Vì x₁ là nghiệm nên

Thế vào ta dược

ta có pt hđgđ

\(-x^2=mx-1\)

\(\Leftrightarrow x^2+mx-1=0\)

\(\Delta=m^2+4>0\)

theo vi-ét ta có

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-m\\x_1x_2=-1\end{matrix}\right.\)

\(x^2_1x_2+x_1x_2^2-x_1x_2=3\)

\(\Leftrightarrow x_1x_2\left(x_1+x_2-1\right)=3\)

\(\Rightarrow m=2\)

a, Thay m = 2 vào pt ta được :

x² - (2.2 + 1)x + 2² + 1 = 0

<=> x² - 5x + 5 = 0

Ta có \(\Delta=b^2-4ac\)

= 25 - 20 = 5

=> \(\sqrt{\Delta}\) = \(\sqrt{5}\)

=> Pt có 2 nghiệm phân biệt \(\left[{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\\x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\end{matrix}\right.\)

<=> \(\left[{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{5+\sqrt{5}}{2}\\x_2=\dfrac{5-\sqrt{5}}{2}\end{matrix}\right.\)

b, Để pt (*) có hai nghiệm phân biệt

<=> \(\Delta\) \(\ge\) 0

<=> (2m - 1)² - 4(m² + 1) \(\ge\) 0

<=> 4m² - 4m + 1 - 4m² - 4 \(\ge\) 0

<=> -4m - 3 \(\ge\) 0

<=> m \(\ge\dfrac{-3}{4}\)

\(\Delta'=1^2-m=1-m\)

phương trình có 2 nghiệm <=>\(\Delta'\ge0\)

<=>\(1-m\ge0\)

<=>\(m\le1\)

+ Theo vi-et\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-2\left(1\right)\\x_1x_2=m\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Theo bai ra: \(3x_1+2x_2=1\left(3\right)\)

từ (1)và (3), ta có hệ phương trình\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-2\\3x_1+2x_2=1\end{matrix}\right.\) <=>\(\left\{{}\begin{matrix}x_1=5\\x_2=-7\end{matrix}\right.\). Thay vào (2) : 5.(-7)= m <=> m= -35

△'=(1)²-m

<=> m\(\ge\)1

vi ét \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-2\\x_1x_2=m\end{matrix}\right.\)

thay vào pt

Gái xinh review app chất cho cả nhà đây: https://www.facebook.com/watch/?v=485078328966618 Link tải app: https://www.facebook.com/watch/?v=485078328966618

bài này bạn ra kết quả chưa??

Bạn cold wind làm sai chỗ x1.x2 rồi