Question

y=x³-3mx²+3(3m-4)x+2. Tìm m để a)Hàm số đồng biến với mọi x thuộc (trừ âm vô cùng;1) b) Hàm số đồng biến với mọi x thuộc (2; dương vô cùng)

Answer 1

\(y'=3x^2-6mx+3\left(3m-4\right)=3\left[x^2-2mx+3m-4\right]\)

Xét \(f\left(x\right)=x^2-2mx+3m-4\)

\(\Delta'=m^2-3m+4=\left(m-\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{7}{4}>0\) ;\(\forall m\)

a. Để hàm số đồng biến trên khoảng đã cho

\(\Leftrightarrow x^2-2mx+3m-4\ge0\) ; \(\forall x\le1\)

\(\Leftrightarrow1\le x_1< x_2\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)\ge0\\\dfrac{x_1+x_2}{2}>1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)+1\ge0\\x_1+x_2>2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3m-4-2m+1\ge0\\2m>2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ge3\\m>1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m\ge3\)

Answer 2

b.

Để hàm đồng biến trên khoảng đã cho

\(\Leftrightarrow x^2-2mx+3m-4\ge0\) ; \(\forall x\ge2\)

\(\Leftrightarrow x_1< x_2\le2\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x_1-2\right)\left(x_2-2\right)\ge0\\\dfrac{x_1+x_2}{2}< 2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1x_2-2\left(x_1+x_2\right)+4\ge0\\x_1+x_2< 4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3m-4-4m+4\ge0\\2m< 4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\le0\\m< 2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m\le0\)