Áp dụng 2 bất đẳng thức phụ:
\(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\).Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y\)
\(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\).Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y\)
Áp dụng vào bài toán,ta có:
\(x^2+y^2\ge2\)
\(xy\le1\Leftrightarrow\frac{1}{xy}\ge1\)
Khi đó,ta có:\(x^2+y^2+\frac{1}{xy}\ge3\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=1\)
Thêm 2 vào bớt 2 ra biến đổi và dùng Cô si là xong ạ? + Áp dụng BĐT \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\) (cũng là hệ quả của cô si thôi)
Ta có: \(P=x^2+y^2+\frac{1}{xy}=\left(x^2+1\right)+\left(y^2+1\right)+\frac{1}{xy}-2\)
\(\ge2x+2y+\frac{1}{\frac{\left(x+y\right)^2}{4}}-2=2\left(x+y\right)+\frac{4}{\left(x+y\right)^2}-2\)
\(=2.2+\frac{4}{2^2}-2=5-2=3\)
Dấu "=" xảy ra khi x = y = 1
Vậy \(P_{min}=3\Leftrightarrow x=y=1\)
