* pt có 2 ngiệm pb \(\Leftrightarrow\Delta>0\Rightarrow\Delta=\left(2m+1\right)^2-4\left(m^2+m-6\right)>0\)
\(\Rightarrow\Delta=4m^2+4m+1-4m^2-4m+24=25>0\)
\(\Rightarrow\)pt luôn có 2 nghiệm pb \(\forall\)m.
* Theo hệ thức vi-ét :\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m+1\\x_1x_2=m^2+m-6\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x_1^2+x^2_2+x_1x_2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2+x_1x_2\)
\(\Rightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-x_1x_2=10\)
\(\Rightarrow\left(2m+1\right)^2-\left(m^2+m-6\right)=10\)
\(\Rightarrow4m^2+4m+1-m^2-m+6-10=0\)
\(\Rightarrow3m^2+3m-3=0\Rightarrow m^2+m-1=0\)
\(\Rightarrow m=\dfrac{-1\pm\sqrt{5}}{2}\)( thỏa mãn).
Vậy....
Đây là ý kiến của mk.Nếu đúng thì bn cho 1 tick, còn nếu sai thì mong bn góp ý.
Phương trình: \(x^2-\left(2m+1\right)x+m^2+m-6=0\left(1\right)\)
Xét phương trình (1) có:
\(\Delta=\left(2m+1\right)^2-4\left(m^2+m-6\right)\)
= \(4m^2+4m+1-4m^2-4m+24=25>0\)
\(\Rightarrow\Delta>0\)
\(\Rightarrow\) Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m
Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m+1\\x_1.x_2=m^2+m-6\end{matrix}\right.\)
Theo đề bài ta có:
\(x_1^2+x_2^2+x_1x_2=10\)
\(\Rightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2+x_1x_2=10\)
\(\Rightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-x_1x_2-10=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2m+1\right)^2-\left(m^2+m-6\right)-10=0\)
\(\Leftrightarrow4m^2+4m+1-m^2-m+6-10=0\)
\(\Leftrightarrow3m^2+3m-3=0\)
\(\Leftrightarrow m^2+m-1=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2m+1-\sqrt{5}\right)\left(2m+1+\sqrt{5}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2m+1-\sqrt{5}=0\\2m+1+\sqrt{5}=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}\\m=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}\end{matrix}\right.\)
Vậy để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) thỏa mãn \(x_1^2+x_2^2+x_1x_2=10\) thì \(m=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}\) hoặc \(m=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}\)
