Question

Cho parabol (P): y=x^2 và đường thẳng (d): y= 2(m-1)x+m^2+2m (m là tham số, m \(\in\) R)

a) Tìm m để đg thg (d) đi qua 2 điểm I(1, 3)

b) CMR: parabol (P) luôn cắt (d) tại 2 điểm phân biệt A, B

Gọi \(x_1\), \(x_2\) là hoành độ 2 điểm A, B. Tìm m sao cho \(x_1^2+x_2^2+6x_1x_2>2016\)

Answer 1

a/ Để \(d\) qua \(I\left(1;3\right)\)

\(\Rightarrow3=2\left(m-1\right).1+m^2+2m\)

\(\Leftrightarrow m^2+4m-5=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=-5\end{matrix}\right.\)

b/ Phương trình hoành độ giao điểm d và (P):

\(x^2-2\left(m-1\right)x-m^2-2m=0\) (1)

\(\Delta'=\left(m-1\right)^2+m^2+2m=2m^2+1>0\) \(\forall m\)

Vậy pt (1) luôn có 2 nghiệm pb \(\Rightarrow d\) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt

Theo Viet ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-1\right)\\x_1x_2=-m^2-2m\end{matrix}\right.\)

\(x_1^2+x_2^2+2x_1x_2+4x_1x_2>2016\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2+4x_1x_2-2016>0\)

\(\Leftrightarrow4\left(m-1\right)^2+4\left(-m^2-2m\right)-2016>0\)

\(\Leftrightarrow-16m-2012>0\)

\(\Rightarrow m< \frac{-503}{4}\)