Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Quách Phú Đạt

Với a , b , c là các số thực dương: Chứng minh rằng với \(abc=1\)

\(\dfrac{1}{a^3+b^3+abc}+\dfrac{1}{b^3+c^3+abc}+\dfrac{1}{c^3+a^3+abc}\le\dfrac{1}{abc}\)

Akai Haruma
1 tháng 3 2017 lúc 13:02

Lời giải:
Trước tiên ta đi cm bất đẳng thức sau: với \(a,b>0\) thì \(a^3+b^3\geq ab(a+b)\)

BĐT đúng vì nó tương đương với \((a-b)^2(a+b)\geq 0\) ( luôn đúng)

Do đó:, kết hợp với \(abc=1\Rightarrow \)\(\frac{1}{a^3+b^3+abc}\leq \frac{1}{ab(a+b+c)}=\frac{c}{a+b+c}\)

Tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế:

\(\Rightarrow \text{VT}\leq \frac{a+b+c}{a+b+c}=1=\frac{1}{abc}\) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\)

soyeon_Tiểubàng giải
1 tháng 3 2017 lúc 13:09

Có: \(\left(a-b\right)^2\ge0\Rightarrow\left(a-b\right)^2.\left(a+b\right)\ge0\Leftrightarrow a^3+b^3-ab\left(a+b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\Leftrightarrow a^3+b^3+abc\ge ab\left(a+b+c\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a^3+b^3+abc}\le\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}\)

TT: \(\frac{1}{b^3+c^3+abc}\le\frac{1}{bc\left(a+b+c\right)}\)

\(\frac{1}{c^3+a^3+abc}\le\frac{1}{ca\left(a+b+c\right)}\)

Cộng vế với vế ta được:

\(\frac{1}{a^3+b^3+abc}+\frac{1}{b^3+c^3+abc}+\frac{1}{c^3+a^3+abc}\le\frac{1}{a+b+c}\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)\)

\(\le\frac{1}{a+b+c}.\frac{c+a+b}{abc}=\frac{1}{abc}\left(đpcm\right)\)

Kuro Kazuya
1 tháng 3 2017 lúc 13:12

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 bộ số thực không âm

\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}a^2+b^2\ge2ab\\b^2+c^2\ge2bc\\c^2+a^2\ge2ca\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}a^2-ab+b^2\ge ab\\b^2-bc+c^2\ge bc\\c^2-ca+a^2\ge ca\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\ge ab\left(a+b\right)\\\left(b+c\right)\left(b^2-bc+c^2\right)\ge bc\left(b+c\right)\\\left(c+a\right)\left(c^2-ca+a^2\right)\ge ca\left(c+a\right)\end{matrix}\right.\)

Áp dụng hẳng đẳng thức tổng 2 lập phương

\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\\b^3+c^3\ge bc\left(b+c\right)\\c^3+a^3\ge ca\left(c+a\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}a^3+b^3+abc\ge ab\left(a+b\right)+abc\\b^3+c^3+abc\ge bc\left(b+c\right)+abc\\c^3+a^3+abc\ge ca\left(c+a\right)+abc\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}a^3+b^3+abc\ge ab\left(a+b+c\right)\\b^3+c^3+abc\ge bc\left(a+b+c\right)\\c^3+a^3+abc\ge ca\left(a+b+c\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}\dfrac{1}{a^3+b^3+abc}\le\dfrac{1}{ab\left(a+b+c\right)}=\dfrac{abc}{ab\left(a+b+c\right)}\\\dfrac{1}{b^3+c^3+abc}\le\dfrac{1}{bc\left(a+b+c\right)}=\dfrac{abc}{bc\left(a+b+c\right)}\\\dfrac{1}{c^3+a^3+abc}\le\dfrac{1}{ca\left(a+b+c\right)}=\dfrac{abc}{ca\left(a+b+c\right)}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow VT\le\dfrac{abc}{ab\left(a+b+c\right)}+\dfrac{abc}{bc\left(a+b+c\right)}+\dfrac{abc}{ca\left(a+b+c\right)}\)

\(\Rightarrow VT\le\dfrac{c}{a+b+c}+\dfrac{a}{a+b+c}+\dfrac{b}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow VT\le\dfrac{a+b+c}{a+b+c}=1\)

\(\Leftrightarrow VT\le\dfrac{1}{abc}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a^3+b^3+abc}+\dfrac{1}{b^3+c^3+abc}+\dfrac{1}{c^3+a^3+abc}\le\dfrac{1}{abc}\)

\(\Rightarrow\) ( đpcm )

nguyễn khôi nguyên
1 tháng 3 2017 lúc 17:39

chiu thoi


Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Hữu Tuyên
Xem chi tiết
Ngọc Hiền
Xem chi tiết
Quách Phú Đạt
Xem chi tiết
Quốc Bảo
Xem chi tiết
Nhâm Gia Nghĩa
Xem chi tiết
I Love Hoc24
Xem chi tiết
Đức Huy ABC
Xem chi tiết
Quốc Bảo
Xem chi tiết
Lưu Thị Thảo Ly
Xem chi tiết