Question

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn \(abc=1\)

CMR \(\sqrt{\dfrac{a^4+b^4}{1+ab}}+\sqrt{\dfrac{b^4+c^4}{1+bc}}+\sqrt{\dfrac{c^4+a^4}{1+ca}}\text{ ≥ }3\)

Answer 1

Ta có \(\sum\limits^{ }_{sym}\sqrt{\dfrac{a^4+b^4}{1+ab}}=\sum\limits^{ }_{sym}\sqrt{\dfrac{2\left(a^4+b^4\right)}{2+2ab}}\ge\sum\limits^{ }_{cyc}\dfrac{a^2}{\sqrt{2+2ab}}+\sum\limits^{ }_{cyc}\dfrac{b^2}{\sqrt{2+2ab}}\)

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và AM-GM ta có:

\(\sum\limits^{ }_{cyc}\dfrac{b^2}{\sqrt{2+2ab}}\ge\dfrac{3}{2}\)

Cộng hai bất đẳng thức ta được:

\(\sqrt{\dfrac{a^4+b^4}{1+ab}}+\sqrt{\dfrac{b^4+c^4}{1+bc}}+\sqrt{\dfrac{c^4+a^4}{1+ac}}\ge3\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=1\)