Dự đoán khi \(a=b=c=\frac{3}{2}\) ta tính được \(P=\sqrt{5}\)
Ta sẽ chứng minh nó là GTLN của \(P\)
Thật vậy, theo BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\sum\frac{\sqrt{a^2-1}}{a}=\sum\sqrt{1-\frac{1}{a^2}}\leq\sqrt{(1+1+1)\sum\left(1-\frac{1}{a^2}\right)}=\sqrt{3\sum\left(1-\frac{1}{a^2}\right)}\)
Vậy ta quay ra chứng minh \(3\sum(1-\frac{1}{a^2})\leq5 \)
Hay \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq\frac{4}{3}\). Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a+b+c=3u\\ab+ac+bc=3v^2\\abc=w^3\end{matrix}\right.\)
Vì vậy điều kiện không phụ thuộc vào \(v^2\) và ta cần chứng minh \(9v^4-6uw^3\geq \frac{4}{3}w^6\)
Nó đủ để nói lên BĐT kia cho một GTNN của \(v^2\)
Ta đã biết \(a,b,c\) là các nghiệm dương của phương trình
\((x-a)(x-b)(x-c)=0\)
\(\Leftrightarrow x^3-3ux^2+3v^2x-w^3=0\)
\(\Leftrightarrow 3v^2x=-x^3+3ux^2+w^3\)
Do vậy, trên đường \(y=3v^2x\) và đồ thị của \(y=-x^3+3ux^2+w^3\) có \(3\) điểm chung và \(v^2\) nhận được GTNN
Khi đường \(y=3v^2x\) là một đường tiếp tuyến với đồ thị \(y=-x^3+3ux^2+w^3\)
Nó xảy ra trường hợp cho hai biến số bằng nhau
Tức là, nó đủ để chứng minh BĐT cuối cho \(b=a\) và điều kiện cho \(c=\frac{27+36a}{32a^2-18}\)
Như vậy, ta cần chứng minh
\(a^4+2a^2\left(\frac{27+36a}{32a^2-18}\right)^2\geq\frac{4}{3}a^4\left(\frac{27+36a}{32a^2-18}\right)^2\)
Hay \(a^2(2a-3)^2(8a^2+12a+9)\geq0\). Đúng !
