Question

Viết phương trình đường tròn (C) đi qua A(2;1) có tâm nằm trên đường thẳng (d): 2x+y-3=0 và cắt (d'):3x+4y+3=0 tại 2 điểm M, N sao cho MN= \(2\sqrt{3}\)

Answer 1

Lời giải:
Gọi tâm đường tròn là $I(a,3-2a)$

Kẻ $IH\perp MN$ thì $H$ là trung điểm của $MN$

$IH=d(I,MN)=\frac{|3a+4(3-2a)+3|}{\sqrt{3^2+4^2}}=|3-a|$

$MH=\frac{MN}{2}=\sqrt{3}$

$R^2=IM^2=IH^2+MH^2=(3-a)^2+3(1)$

Mặt khác, $A\in (C)$ nên $R^2=IA^2=(a-2)^2+(2-2a)^2(2)$

Từ $(1);(2)\Rightarrow (3-a)^2+3=(a-2)^2+(2-2a)^2$

$\Leftrightarrow 2a^2-3a-2=0$

$\Rightarrow a=2$ hoặc $a=-\frac{1}{2}$

$\Rightarrow I(2,-1)$ với $R^2=4$ hoặc $I(\frac{-1}{2}; 4)$ với $R^2=\frac{61}{4}$

Vậy PTĐTr là:

$(x-2)^2+(y+1)^2=4$ hoặc $(x+\frac{1}{2})^2+(y-4)^2=\frac{61}{4}$