Question

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình bình hành ABCD có A(2,3) và tâm I(-1,1). Biết điểm M(4,9) nằm trên đường thẳng AD và điểm D có tung độ gấp đôi hoành độ. Tìm các đỉnh còn lại của hình bình hành?

Answer 1

Do I là trung điểm AC \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_C=2x_I-x_A=-4\\y_C=2y_I-y_A=-1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow C\left(-4;-1\right)\)

\(\overrightarrow{AM}=\left(2;6\right)\Rightarrow\) đường thẳng AM nhận \(\overrightarrow{n_{AM}}=\left(3;-1\right)\) là 1 vtpt

Phương trình AM:

\(3\left(x-2\right)-1\left(y-3\right)=0\Leftrightarrow3x-y-3=0\)

Do D thuộc AM \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x_D-y_D-3=0\\y_D=2x_D\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_D=3\\y_D=6\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow D\left(3;6\right)\)

Gọi \(B\left(a;b\right)\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AB}=\left(a-2;b-3\right)\\\overrightarrow{DC}=\left(-7;-7\right)\end{matrix}\right.\)

Do \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-2=-7\\b-3=-7\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-5\\b=-4\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow B\left(-5;-4\right)\)