Question

Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(0; 4 2 ;0), B(0;0; 4 2 ) điểm C ∈ (Oxy) và tam giác OAC vuông tại C, hình chiếu vuông góc của O trên BC là điểm H. Khi đó điểm H luôn thuộc đường tròn cố định có bán kính bằng

A.  2 2

B. 4

C.  3

D. 2

Answer 1

Chọn D

+) Dễ thấy B ∈ Oz  . Ta có A ∈ (Oxy) và C ∈ (Oxy), suy ra OB ⊥ (OAC)

 

Từ (1) và (2) suy ra 

+) Với OH ⊥ AB suy ra H thuộc mặt phẳng (P)  với (P) là mặt phẳng đi qua O và vuông góc với đường thẳng AB. Phương trình của (P) là: y-z=0.

+) Với  OH ⊥ HA => tam giác OHA vuông tại H. Do đó H thuộc mặt cầu (S) có tâm I(0;2 2 ;0) là trung điểm của OA và bán kính  R = O A 2 = 2 2

+) Do đó điểm H luôn thuộc đường tròn (T) cố định là giao tuyến của mặt phẳng (P) với mặt cầu (S).

+) Giả sử (T) có tâm K và bán kính r   thì 

 

Vậy điểm H luôn thuộc đường tròn cố định có bán kính bằng 2.