* Bổ đề: Diện tích của 1 tam giác thì bằng nửa tích 2 cạnh và \(sin\) của góc tạo bởi 2 cạnh đó.
C/m:
- \(\Delta ABC\), hạ đường cao \(BH\).
\(sin\widehat{A}=\dfrac{BH}{AB}\Rightarrow BH=AB.sin\widehat{A}\)
\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AC.BH=\dfrac{1}{2}AB.AC.sin\widehat{A}\)
* Quay lại bài toán:
- \(AC\) cắt \(BD\) tại \(O\). Giả sử \(\widehat{DOC}=\alpha< 90^0\)
- Theo bổ đề trên ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}S_{OCD}=\dfrac{1}{2}OC.OD.sin\alpha\\S_{OAD}=\dfrac{1}{2}OA.OD.sin\left(180-\alpha\right)\\S_{OAB}=\dfrac{1}{2}OA.OB.sin\alpha\\S_{OBC}=\dfrac{1}{2}OB.OC.sin\left(180-\alpha\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow S_{ABCD}=\dfrac{1}{2}\left(OC.OD.sin\alpha+OA.OD.sin\left(180-\alpha\right)+OA.OB.sin\alpha+OB.OC.sin\left(180-\alpha\right)\right)\)
Mà \(sin\alpha=sin\left(180-\alpha\right)\)
\(\Rightarrow S_{ABCD}=\dfrac{1}{2}\left(OC.OD.sin\alpha+OA.OD.sin\alpha+OA.OB.sin\alpha+OB.OC.sin\alpha\right)\)
\(\Rightarrow S_{ABCD}=\dfrac{1}{2}sin\alpha\left(OC.OD+OA.OD+OA.OB+OB.OC\right)\)
\(\Rightarrow S_{ABCD}=\dfrac{1}{2}sin\alpha\left[OD\left(OC+OA\right)+OB\left(OC+OA\right)\right]\)
\(\Rightarrow S_{ABCD}=\dfrac{1}{2}sin\alpha.\left(OA+OC\right)\left(OB+OD\right)\)
\(\Rightarrow S_{ABCD}=\dfrac{1}{2}AC.BD.sin\alpha=\dfrac{1}{2}mn.sin\alpha\)
