a: ĐKXĐ: \(\left(x+2\right)\left(x+3\right)>=0\)
=>\(\left[{}\begin{matrix}x>=-2\\x< =-3\end{matrix}\right.\)
\(y=\sqrt{\left(x+2\right)\left(x+3\right)}=\sqrt{x^2+5x+6}\)
=>\(y'=\dfrac{\left(x^2+5x+6\right)'}{2\sqrt{x^2+5x+6}}=\dfrac{2x+5}{2\sqrt{x^2+5x+6}}\)
y'>0
=>\(\dfrac{2x+5}{2\sqrt{x^2+5x+6}}>0\)
=>2x+5>0
=>\(x>-\dfrac{5}{2}\)
Kết hợp ĐKXĐ, ta được: x>=-2
Đặt y'<0
=>2x+5<0
=>2x<-5
=>\(x< -\dfrac{5}{2}\)
Kết hợp ĐKXĐ, ta được: x<=-3
Vậy: Hàm số đồng biến trên \([-2;+\infty)\) và nghịch biến trên \((-\infty;-3]\)
b: ĐKXĐ: \(\dfrac{2x+1}{x-3}>=0\)
=>\(\left[{}\begin{matrix}x>3\\x< =-\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
\(y=\sqrt{\dfrac{2x+1}{x-3}}\)
=>\(y'=\dfrac{\left(\dfrac{2x+1}{x-3}\right)'}{2\sqrt{\dfrac{2x+1}{x-3}}}\)
=>\(y'=\dfrac{\dfrac{\left(2x+1\right)'\left(x-3\right)-\left(2x+1\right)\left(x-3\right)'}{\left(x-3\right)^2}}{2\sqrt{\dfrac{2x+1}{x-3}}}\)
=>\(y'=\dfrac{\dfrac{2\left(x-3\right)-2x-1}{\left(x-3\right)^2}}{2\sqrt{\dfrac{2x+1}{x-3}}}\)
\(=-\dfrac{\dfrac{7}{\left(x-3\right)^2}}{2\sqrt{\dfrac{2x+1}{x-3}}}< 0\forall x\) thỏa mãn ĐKXĐ, trừ x=-1/2 ra
=>Hàm số luôn đồng biến trên \(\left(3;+\infty\right);\left(-\infty;-\dfrac{1}{2}\right)\)
c:
ĐKXĐ: x>=-3
\(y=\left(x+1\right)\sqrt{x+3}\)
=>\(y'=\left(x+1\right)'\cdot\sqrt{x+3}+\left(x+1\right)\cdot\sqrt{x+3}'\)
=>\(y'=\sqrt{x+3}+\left(x+1\right)\cdot\dfrac{\left(x+3\right)'}{2\sqrt{x+3}}\)
=>\(y'=\sqrt{x+3}+\dfrac{x+1}{2\sqrt{x+3}}\)
=>\(y'=\dfrac{2x+6+x+1}{2\sqrt{x+3}}=\dfrac{3x+7}{2\sqrt{x+3}}\)
Đặt y'>0
=>3x+7>0
=>x>-7/3
Kết hợp ĐKXĐ, ta được: x>-7/3
Đặt y'<0
3x+7<0
=>x<-7/3
Kết hợp ĐKXĐ, ta được: \(-3< x< -\dfrac{7}{3}\)
Vậy: Hàm số đồng biến trên \(\left(-\dfrac{7}{3};+\infty\right)\) và nghịch biến trên \(\left(-3;-\dfrac{7}{3}\right)\)
d: \(y=\dfrac{x-1}{x^2+1}\)(ĐKXĐ: \(x\in R\))
=>\(y'=\dfrac{\left(x-1\right)'\left(x^2+1\right)-\left(x-1\right)\left(x^2+1\right)'}{\left(x^2+1\right)^2}\)
=>\(y'=\dfrac{x^2+1-2x\left(x-1\right)}{\left(x^2+1\right)^2}=\dfrac{-x^2+2x+1}{\left(x^2+1\right)^2}\)
Đặt y'>0
=>\(-x^2+2x+1>0\)
=>\(1-\sqrt{2}< x< 1+\sqrt{2}\)
Đặt y'<0
=>\(-x^2+2x-1< 0\)
=>\(\left[{}\begin{matrix}x>1+\sqrt{2}\\x< 1-\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)
Vậy: hàm số đồng biến trên khoảng \(\left(1-\sqrt{2};1+\sqrt{2}\right)\)
hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left(1+\sqrt{2};+\infty\right);\left(-\infty;1-\sqrt{2}\right)\)
