Question

Tìm tập hợp các giá trị thực của m sao cho bất phương trình log 2 x + m ≥ 1 2 x 2  có nghiệm x ∈ 1 ; 3

A.  1 ln 2 ; + ∞

B.  9 2 − log 2 3 ; + ∞

C.  1 2 ; + ∞

D.  1 ln 2 + 1 2 log 2 ln 2 ; + ∞

Answer 1

Đáp án D

Bất phương trình

log 2 x + m ≥ 1 2 x 2 ⇔ m ≥ 1 2 x 2 − log 2 x     * .

Xét hàm số f x = 1 2 x 2 − log 2 x với  x ∈ 1 ; 3 ,

ta có  f ' x = x − 1 x . ln 2 = x 2 . ln 2 − 1 x . ln 2 .

Phương trình

f ' x = 0 ⇔ x 2 . ln 2 − 1 = 0 ⇔ x 2 = 1 ln 2 ⇔ x = 1 ln 2 .

Tính các giá trị

f 1 = 1 2 ; f 1 ln 2 = 1 2 ln 2 + 1 2 log 2 ln 2 ; f 3 = 9 2 − log 2 3.

Dựa vào BBT, suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) là

f 1 ln 2 = 1 2 ln 2 + 1 2 log 2 ln 2 .

Khi đó, bất phương trình (*) có nghiệm

x ∈ 1 ; 3 ⇔ m ≥ 1 2 ln 2 + 1 2 log 2 ln 2 .