Question

Tìm số nguyên dương a để S= a^2-a+2 là số chính phương

Answer 1

Để S là số chính phương thì \(S=k^2\)

=>\(a^2-a+2=k^2\)

=>\(a^2-a+\frac14-k^2=-\frac74\)

=>\(\left(a-\frac12\right)^2-k^2=-\frac74\)

=>\(\left(2a-1\right)^2-4k^2=-7\)

=>(2a-1-2k)(2a-1+2k)=-7

=>(2a-1-2k;2a-1+2k)∈{(1;-7);(-7;1);(-1;7);(7;-1)}

TH1: 2a-1-2k=1 và 2a-1+2k=-7

=>2a-1-2k+2a-1+2k=1-7

=>4a-2=-6

=>4a=-4

=>a=-1(loại)

TH2: 2a-1-2k=-7 và 2a-1+2k=1

=>=>2a-1-2k+2a-1+2k=1-7

=>4a-2=-6

=>4a=-4

=>a=-1(loại)

TH3: 2a-1-2k=-1 và 2a-1+2k=7

=>2a-1-2k+2a-1+2k=-1+7

=>4a-2=6

=>4a=8

=>a=2(nhận)

TH4: 2a-1-2k=7 và 2a-1+2k=-1

=>2a-1-2k+2a-1+2k=-1+7

=>4a-2=6

=>4a=8

=>a=2(nhận)

Vậy: a=2