Không biết bạn đã học khai triển Newton chưa nhỉ? 
Áp dụng khai triển Newton ta có:
\((12+\sqrt{7})^{22}+(12-\sqrt{7})^{22}=\sum_{k=0}^{22}C_{22}^{k}(\sqrt{7})^k.12^{22-k}+\sum _{k=0}^{22}C_{22}^{k}(-\sqrt{7})^k12^{22-k}\)Rõ ràng là với $k$ chạy trên tập số lẻ thì các số hạng có số mũ lẻ tự triệt tiêu cho nhau. Với $k$ chạy trên tập số chẵn và $k<22$ thì mỗi số \((\pm \sqrt{7})^k12^{22-k}\) đều là số nguyên chia hết cho $6$. Do đó, nếu gọi tổng trên là $P$ thì \(P\equiv (\sqrt{7})^{22}+(-\sqrt{7})^{22}=2.7^{11}\equiv 2\pmod 6\)
Vậy \((12+\sqrt{7})^{22}+(12-\sqrt{7})^{22}\equiv 2\pmod 6\).
Bài toán này có thể tổng quát cho trường hợp mũ $n$ với $n$ chẵn
