Để pt có hai nghiệm phân biệt thì:
\(\left\{{}\begin{matrix}m-1\ne0\\\Delta>0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne1\\\left[-\left(m-5\right)\right]^2-4\left(m-1\right)^2>0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne1\\\left(m-5\right)^2-\left(2m-2\right)^2>0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne1\\\left(m-5-2m+2\right)\left(m-2+2m-2\right)>0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne1\\\left(-m-3\right)\left(3m-7\right)>0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne1\\-\left(m+3\right)\left(3m-7\right)>0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne1\\\left(m+3\right)\left(3m-7\right)< 0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne1\\-3< m< \dfrac{7}{3}\end{matrix}\right.\)
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{m-5}{m-1}\\x_1.x_2=1\end{matrix}\right.\)
Để pt có hai nghiệm phân biệt lớn hơn \(-1\) thì:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+1>0\\x_2+1>0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(x_1+1\right)\left(x_2+1\right)>0\)
\(\Leftrightarrow x_1x_2+x_1+x_2+1>0\)
\(\Leftrightarrow1+\dfrac{m-5}{m-1}+1>0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{m-1+m-5+m-1}{m-1}>0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{3m-7}{m-1}>0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m>\dfrac{7}{3}\\m< 1\end{matrix}\right.\)
Kết hợp với ĐK ta được:
\(-3< m< 1\)
Vậy. ...
\(\left(m-1\right)x^2-\left(m-5\right)x+\left(m-1\right)=0\left(1\right)\)
Để (1) có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn -1 khi và chỉ khi
\(\left\{{}\begin{matrix}\Delta>0\\S>-1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(m-5\right)^2-4\left(m-1\right)^2>0\\\dfrac{m-5}{m-1}>-1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(m-5+2m-2\right)\left(m-5-2m+2\right)>0\\\dfrac{m-5}{m-1}+1>0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(3m-7\right)\left(-m-3\right)>0\\\dfrac{2m-6}{m-1}>0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-3< m< \dfrac{7}{3}\\m< 1\end{matrix}\right.\) \(\cup\) \(\left\{{}\begin{matrix}-3< m< \dfrac{7}{3}\\m>3\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow-3< m< 1\)
Vậy \(-3< m< 1\) thỏa mãn đề bài
