\(A=\frac{1}{1+\frac{b}{a}+\left(\frac{b}{a}\right)^2}=\frac{1}{t^2+t+1}\) (chia cả tử và mẫu cho a2 rồi đặt \(t=\frac{b}{a}\))
Khi đó \(\frac{1}{2}\le t\le2\)
Ta có:
+) \(t\left(t-\frac{1}{2}\right)\ge0\Rightarrow t^2\ge\frac{1}{2}t\Rightarrow A=\frac{1}{t^2+t+1}\le\frac{1}{\frac{3}{2}t+1}\le\frac{1}{\frac{3}{2}.\frac{1}{2}+1}=\frac{4}{7}\)
Đẳng thức xảy ra khi ...
Vậy..
+) \(t\left(t-2\right)\le0\Rightarrow t^2\le2t\Rightarrow A=\frac{1}{t^2+t+1}\ge\frac{1}{3t+1}\ge\frac{1}{3.2+1}=\frac{1}{7}\)
Đẳng thức xảy ra khi ...
Vậy..
P/s: Em ko chắc!
Đúng rồi nha còn một cách nữa là biến đổi tương đương nha mn
à mà mình quên bổ sung
Amin=1/7 khi a=1,b=2
Amax =4/7 khi b=1,a=2 nha mn
Cách bạn tth_new làm là đánh giá còn cách của mình là biến đổi tương đương nha mn:
Ta sẽ CM \(\frac{a^2}{a^2+ab+b^2}\ge\frac{1}{7}\)
\(\Leftrightarrow a^2+ab+b^2\ge7a^2\)
\(\Leftrightarrow6a^2-ab-b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(2a-b\right)\left(3a+b\right)\ge0\)(luôn đúng do a,b\(\in\)[1;2])
\(\Rightarrow Amin=\frac{1}{7}\)
Dấu ''=''xảy ra \(\Leftrightarrow\)a=1;b=2
(Phần tìm GTLN mọi người làm tương tự nha.Trước bước khi biến đổi tương đương mn phải dự đoán trong nháp trc nha!)
