Question

Tìm GTLN, GTNN của các biểu thức sau:

a) M = \(\sqrt{2-x}+\sqrt{1+x}\)

b) N = \(\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}\)

Answer 1

a) ĐK: -1 <= x <= 2

Ta thấy \(M\ge0\)với mọi x thỏa mãn ĐK.

\(M^2=2-x+2\sqrt{2-x}\sqrt{1+x}+1-x=3+2\sqrt{2-x}\sqrt{1+x}\)

Vì M>0 nên M min khi M² min khi \(2\sqrt{2-x}\sqrt{1+x}\)min = 0. Khi đó x = -1 hoặc x = 2 và GTNN của M \(=\sqrt{3}\)

Mặt khác theo Bunhiakopxki thì: \(\sqrt{2-x}+\sqrt{1+x}\le\sqrt{\left(1^2+1^2\right)\left(2-x+1+x\right)}=\sqrt{6}\)nên GTLN của M \(=\sqrt{6}\)khi \(\sqrt{2-x}=\sqrt{1+x}\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\)

KL: GTNN của M \(=\sqrt{3}\)khi x = -1 hoặc 2

GTLN của M \(=\sqrt{6}\)khi x = 1/2.

b) Tương tự, 

GTNN của N \(=\sqrt{2}\)khi x = 2 hoặc 4

GTLN của N = 2 khi x = 3.