Question

tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A=\(\dfrac{1}{1+x^2}+\dfrac{4}{4+y^{2^{ }}}+xy\) với xy≥2

Answer 1

Lời giải:

Đặt $x=a; \frac{y}{2}=b$ thì bài toán trở thành:

Tìm min $A=\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+2ab$ với $ab\geq 1$
----------------------------------

Với $ab\geq 1$, ta có BĐT khá quen thuộc:

$\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}\geq \frac{2}{ab+1}$ (để cm BĐT này bạn chỉ cần biến đổi tương đương) 

Áp dụng vào bài và sử dụng thêm BĐT AM-GM:

$A\geq \frac{2}{ab+1}+2ab=\frac{2}{ab+1}+\frac{ab+1}{2}+\frac{3ab-1}{2}$

$\geq 2\sqrt{\frac{2}{ab+1}.\frac{ab+1}{2}}+\frac{3ab-1}{2}$

$=2+\frac{3ab-1}{2}\geq 2+\frac{3.1-1}{2}=3$

Vậy $A_{\min}=3$.