Question

Tìm các số tự nhiên x,y biết:

\(\left(2^x+1\right)\left(2^x+2\right)\left(2^x+3\right)\left(2^x+4\right)-5^y=11879\)

Answer 1

Đặt A=(2^x+1)(2^x+2)(2^x+3)(2^x+4), ta có 2^x.A là tích của 5 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 5. Nhưng 2^x không chia hết cho 5, do đó A chia hết cho 5.

Nếu y>=1 ta có (2^x+1)(2^x+2)(2^x+3)(2^x+4)-5^y chia hết cho 5 mà 11879 không chia hết cho 5 nên y>=1 không thỏa mãn

=>y=0

Khi đó ta có  (2^x+1)(2^x+2)(2^x+3)(2^x+4)-5^y=11879

             <=> (2^x+1)(2^x+2)(2^x+3)(2^x+4)-1=11879

             <=> (2^x+1)(2^x+2)(2^x+3)(2^x+4)=11880

             <=> (2^x+1)(2^x+2)(2^x+3)(2^x+4)=9.10.11.12

               =>x=3   

Vậy x=3 và y=0