Question

Tìm các giá trị của x, y, z thỏa mãn đồng thời:

x + y + z =6 và x² + y² + z²= 12

Answer 1

\(x^2+y^2+z^2=12\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2-2\left(xy+yz+zx\right)=12\)

\(\Leftrightarrow36-2\left(xy+yz+zx\right)=12\)

\(\Leftrightarrow xy+yz+zx=12\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2=xy+yz+zx\left(=12\right)\)

\(\Rightarrow2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2=0\)

Mỗi hạng tử bên VT đều > 0 nên dấu "=" khi x = y = z

mà x + y + z = 6 => x = y = z = 2

Answer 2

Tks nha chế

Answer 3

Ta có: \(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(x-z\right)^2\ge0\)với mọi x, y, z

<=> \(2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2xz\ge0\)

<=> \(2x^2+2y^2+2z^2\ge2xy+2yz+2xz\)

<=> \(3x^2+3y^2+3z^2\ge x^2+y^2+z^2+2xy+2zx+2yz\)

<=>\(3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)(1)

(Có nhiều cách để chững minh bđt (1) cũng có thể áp dụng luôn vào bài)

Ta có: \(x^2+y^2+z^2\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=\frac{6^2}{3}=12\)

"=" Xảy ra khi và chỉ khi \(\hept{\begin{cases}x=y=z\\x+y+z=6\end{cases}\Leftrightarrow}x=y=z=2\)