Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyễn Phú Hoàng Phong

Cho ba số x, y và z thỏa mãn x + y + z = 0. Chứng minh rằng
2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2).
 

Akai Haruma
14 tháng 6 2021 lúc 23:47

Lời giải:

$x^5+y^5+z^5=(x^2+y^2+z^2)(x^3+y^3+z^3)-[x^2(y^3+z^3)+y^2(x^3+z^3)+z^2(x^3+y^3)]$

Mà:

$x^3+y^3+z^3=(x+y)^3-3xy(x+y)+z^3$

$=(-z)^3-3xy(-z)+z^3=3xyz$

Và:

\(x^2(y^3+z^3)+y^2(x^3+z^3)+z^2(x^3+y^3)\)

\(=x^2y^2(x+y)+y^2z^2(y+z)+z^2x^2(z+x)=-x^2y^2z-y^2z^2x-x^2y^2z\)

\(=-xyz(xy+yz+xz)=-xyz[\frac{(x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2)}{2}]=\frac{xyz(x^2+y^2+z^2)}{2}\)

Do đó: \(x^5+y^5+z^5=3xyz(x^2+y^2+z^2)-\frac{xyz(x^2+y^2+z^2)}{2}=\frac{5xyz(x^2+y^2+z^2)}{2}\)

\(\Rightarrow 2(x^5+y^5+z^5)=5xyz(x^2+y^2+z^2)\)

Ta có đpcm.

 

 


Các câu hỏi tương tự
Duy Phạm
Xem chi tiết
Nhicute
Xem chi tiết
Pham Trong Bach
Xem chi tiết
Pham Trong Bach
Xem chi tiết
Anh Phương
Xem chi tiết
Đặng Anh Tuấn
Xem chi tiết
Uyên Thảo
Xem chi tiết
Cá cầm phóng lợn Top 1
Xem chi tiết
Trần Hà Lan
Xem chi tiết