a: \(A=2x^2+2y^2-2xy+4x+4y+2035\)
\(=\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(x^2+4x+4\right)+\left(y^2+4y+4\right)+2027\)
\(=\left(x-y\right)^2+\left(x+2\right)^2+\left(y+2\right)^2+2027\ge2027\forall x,y\)
Dấu '=' xảy ra khi \(\begin{cases}x-y=0\\ x+2=0\\ y+2=0\end{cases}\Rightarrow x=y=-2\)
b: \(B=2x^2+y^2+2xy+8x+2y+2035\)
\(=x^2+2xy+y^2+x^2+8x+2y+2035\)
\(=\left(x+y\right)^2+2\left(x+y\right)+x^2+6x+2035\)
\(=\left(x+y\right)^2+2\cdot\left(x+y\right)\cdot1+1^2+x^2+6x+9+2025\)
\(=\left(x+y+1\right)^2+\left(x+3\right)^2+2025\ge2025\forall x,y\)
Dấu '=' xảy ra khi \(\begin{cases}x+y+1=0\\ x+3=0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=-3\\ y=-\left(x+1\right)=-\left(-3+1\right)=-\left(-2\right)=2\end{cases}\)
c: \(C=x^2+2y^2+2xy-2x-12y+2035\)
\(=x^2+2xy+y^2+y^2-2x-2y-10y+2035\)
\(=\left(x+y\right)^2-2\left(x+y\right)+1+y^2-10y+25+2009\)
\(=\left(x+y-1\right)^2+\left(y-5\right)^2+2009\ge2009\forall x,y\)
Dấu '=' xảy ra khi \(\begin{cases}y-5=0\\ x+y-1=0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y=5\\ x=-y+1=-5+1=-4\end{cases}\)
a) A = 2x² + 2y² - 2xy + 4x + 4y + 2035
= (x² - 2xy + y²) + (x² + 4x + 4) + (y² + 4y + 4) + 2027
= (x - y)² + (x + 2)² + (y + 2)² + 2027
Do (x - y)² ≥ 0 với mọi x ∈ R
(x + 2)² ≥ 0 với mọi x ∈ R
(y + 2)² ≥ 0 với mọi x ∈ R
⇒ (x - y)² + (x + 2)² + (y + 2)² ≥ 0 với mọi x ∈ R
⇒ (x - y)² + (x + 2)² + (y + 2)² + 2027 ≥ 2027 với mọi x ∈ R
A nhỏ nhất là 2027 khi x = y = -2
