Question

\(\sqrt{x+\sqrt{x^2-1}}=\dfrac{27\sqrt{2}}{8}\left(x-1\right)^2\sqrt{x-1}\)

Answer 1

\(\sqrt{2x+2\sqrt{x^2-1}}=\dfrac{27}{4}\left(x-1\right)^2\sqrt{x-1}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}\right)^2}=\dfrac{27}{4}\left(x-1\right)^2\sqrt{x-1}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x-1}+\sqrt{x+1}=\dfrac{27}{4}\left(x-1\right)^2\sqrt{x-1}\)

Nhận thấy \(x=1\) ko phải nghiệm, pt tương đương:

\(1+\sqrt{\dfrac{x+1}{x-1}}=\dfrac{27}{4}\left(x-1\right)^2\)

Đặt \(\sqrt{\dfrac{x+1}{x-1}}=t\Rightarrow x+1=t^2\left(x-1\right)=t^2.x-t^2\)

\(\Rightarrow x\left(t^2-1\right)=t^2+1\Rightarrow x=\dfrac{t^2+1}{t^2-1}\)

\(\Rightarrow x-1=\dfrac{2}{t^2-1}\)

Pt trở thành:

\(t+1=\dfrac{27}{4}\left(\dfrac{2}{t^2-1}\right)^2=\dfrac{27}{\left(t^2-1\right)^2}\)

Đặt \(t-1=a\)

\(\Rightarrow a+2=\dfrac{27}{\left(a^2+2a\right)^2}\)

\(\Rightarrow\left(a+2\right)\left(a^2+2a\right)^2-27=0\)

\(\Rightarrow a^5+6a^4+12a^3+8a^2-27=0\)

Tổng hệ số của pt trên bằng 0 nên có nghiệm \(a=1\) , dùng lược đồ Hoocne ta tách được:

\(\left(a-1\right)\left(a^4+7a^3+19a^2+27a+27\right)=0\)

Do:

\(a^4+7a^3+19a^2+27a+27=\left(a^2+\dfrac{7}{2}a\right)^2+\dfrac{27}{4}\left(a+2\right)^2>0;\forall a\)

\(\Rightarrow a=1\) là nghiệm duy nhất

\(\Rightarrow x=\dfrac{2}{\left(a+1\right)^2-1}+1=\dfrac{5}{3}\)